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3. PROPOSIZIONE Sia $\mathcal{P}$ un piano affine desarguesiano e $l\in\mathcal{L}$ una retta e sia $O\in l$; l'addizione di punti di $l$ relativamente ad $O$ rende $l$ gruppo commutativo con $O$ come elemento neutro.

DIMOSTRAZIONE

  • $O$ elemento neutro: $O+C=C$ e $A+O=A$ $\;$ $\forall\; C,A\in l$.

    Per la prima uguaglianza si osservi che, seguendo le notazioni di definizione 1, in cui ora $A=O$ si ottiene di conseguenza che $k=l(O,B)$ e $B=D$, otteniamo $n=l(B,C)$ e dunque $O+C=C$.
    Per la seconda uguaglianza si ha che $l(B,C)=l(B,O)$ cosicché $n=k$; poiché $A\in k$ e $k\cap l=\{A\}$, allora si ha che $A+O=A$.

  • esistenza dell'opposto:
    $\forall A\in l$ esiste un unico punto di $l$, che denoteremo $(-A)$, tale che $A+(-A)=(-A)+A=O$.
    Infatti sia $B\not\in l$ e $D\in\mathcal{P}$ tale che $l(B,D)\parallel l$ e $l(O,B)\parallel l(A,D)$ come nella definizione di addizione; sia per definizione $(-A)$ il punto di intersezione della retta $l$ con la retta passante per $B$ e parallela a $l(O,D)$ (queste due rette non possono essere parallele!); sommando $A$ e $(-A)$ con $B$ come punto ausiliario (e necessariamente è $D$ il secondo punto ausiliario) otteniamo proprio $A+(-A)=O$; l'altra uguaglianza si ottiene invece sommando $(-A)$ e $A$ con $D$ (e $B$) come punto ausiliario.

  • associatività della somma: $(A+C)+E=A+(C+E)$$\;$ $\forall\; A,C, E\in l$.

    Calcoliamo $(A+C)$ utilizzando $B$ (e $D$) come punto ausiliario e poi sommiamo $(A+C)$ ad $E$ utilizzando un punto $B'$ scelto sulla retta $l(B,D)$ in modo tale che $l(O,B')\parallel l(B,C)$. Questo forzerà il punto $D$ ad essere il secondo punto ausiliario anche in questo caso e cosí otteniamo $l(B',E)\parallel l(D,(A+C)+E)$.
    Ora sommiamo $C$ ed $E$ utilizzando $B$ (e $B'$) e infine sommiamo $A$ e $(C+E)$ usando $B$ (e $D$). Questo implica $l(B,(C+E))\parallel l(D, A+(C+E))$.
    Poiché $l(B'E)\parallel l(B,C+E)$ l'assioma delle parallele ci assicura che i punti $(A+C)+E$ e $A+(C+E)$ coincidono.

  • commutatività della somma:
    $A+C=C+A$$\;$ $\forall A,C\in l$.

    Sommiamo $A$ e $C$ utilizzando $B$ (e $D$) e poi calcoliamo $C+A$ utilizzando sempre $B$ come punto ausiliario (e determinando cosí un secondo punto ausiliario $D'$).
    Poiché $l(B,A)\parallel l(D',C+A)$, seguirà che i punti $C+A$ e $A+C$ coincideranno se riusciremo a far vedere che $l(B,A)\parallel l(D',A+C)$.
    E a tal fine usiamo il Teorema di Desargues B relativamente alle terne $A,D,A+C$ e $D',C,B$ e otteniamo che le rette $l(A,D')$, $l(D,C)$ e $l(A+C,B)$ sono parallele o concorrenti.
    A questo punto possiamo usare il Teorema di Desargues sulle terne $A,D,B$ e $D',C,A+C$ per ottenere proprio che $l(B,A)\parallel l(D',A+C)$.

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