I PIANI COORDINATI SONO DESARGUESIANI

Sia $\mathbf{K}$ un campo; vogliamo provare che $\mathbf{K}^2$ è desarguesiano.
Premettiamo una definizione e alcuni lemmi:

3. DEFINIZIONE Sia $\mathcal{P}$ un piano affine; siano 4 punti distinti e non collineari di $\mathcal{P}$ ; si dice che costituiscono i vertici di un parallelogramma se $l(P,Q)\parallel l(S,R)$ e $l(P,S)\parallel l(Q,R)$ .

D'ora in poi lavoreremo in $\mathbf{K}^2$ e useremo la sua naturale struttura di $\mathbf{K}$ -spazio vettoriale: porremo , , , e scrivere, ad esempio, significherà e parimenti, se $\lambda \in \mathbf{K}$ , $\lambda P$ vorrà dire $(\lambda p_1, \lambda p_2)$ ; si noti ancora che supporre che la retta non sia né verticale né orizzontale significa $p_1\neq q_1$ e $p_2\neq q_2$ .

4. LEMMA Siano tre punti distinti di $\mathbf{K}^2$ ; allora sono collineari se e solo se esiste $\alpha\neq 0$ tale che $R-P=\alpha (Q-P)$ .

DIMOSTRAZIONE Supponiamo per semplicità che la retta per e non sia verticale o orizzontale; allora essa avrà un'equazione:

$\begin{displaymath}\frac{(y-p_2)}{(x-p_1)}=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1} \end{displaymath}$

-il secondo membro esiste ed è non nullo nelle nostre ipotesi- e quindi $R\in l(P,Q)$ se e solo se

$\begin{displaymath}\frac{r_2-p_2}{r_1-p_1}=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}\end{displaymath}$

che possiamo anche scrivere

$\begin{displaymath}\frac{r_2-p_2}{q_2-p_2}=\frac{r_1-p_1}{q_1-p_1}=\mathrm{cost:}=\alpha \end{displaymath}$

da cui segue $R-P=\alpha (Q-P)$ ; similmente si tratta il caso in cui

è orizzontale o verticale.

5. LEMMA Siano 4 punti distinti di $\mathbf{K}^2$ ; allora $l(P,Q)\parallel l(S,R)$ se e solo se esiste uno scalare non nullo $\lambda$ tale che $Q-P=\lambda (S-R)$ .

DIMOSTRAZIONE Ancora per semplicità supponiamo di non aver a che fare con rette orizzontali o verticali.
La retta ha pendenza
e la retta ha pendenza .
Abbiamo quindi che $l(P,Q)\parallel l(S,R)$ se e solo se

$\begin{displaymath}\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}= \frac{s_2-r_2}{s_1-r_1}\end{displaymath}$

(è noto dalla geometria analitica che in $\mathbf{R}^2$ due rette sono parallele se e solo se sono verticali oppure hanno la stessa pendenza; identicamente in $\mathbf{K}^2$ ) uguaglianza che possiamo pure riscrivere come

$\begin{displaymath}\frac{q_2-p_2}{s_2-r_2}=\frac{q_1-p_1}{s_1-r_1}=\mathrm{cost}=:\lambda\end{displaymath}$

ove $\lambda\neq 0$ ; e di qui segue che $(q_1-p_1)=\lambda(s_1-r_1)$ e $(q_2-p_2)=\lambda(s_2-r_2)$ . In maniera analoga si trattano i casi in cui

sono verticali o orizzontali.

6. LEMMA Siano

4 punti distinti e non collineari di $\mathbf{K}^2$ ; proviamo che

costituiscono i vertici di un parallelogramma se e solo se

.

DIMOSTRAZIONE Supponiamo che

costituiscano i vertici di un parallelogramma, allora da lemma 5 sappiamo che esistono $\lambda, \mu\in\mathbf{K}\setminus\{0\}$ tali che $Q-P=\lambda (R-S)$ e $R-Q=\mu (S-P)$ .
Se $\lambda=1$ (equivalentemente $\mu=1$ ) siamo a posto; altrimenti, se per assurdo $\lambda\neq 1$ (e quindi $\mu\neq 1$ ), partendo dall'identità $(Q-P)-(R-S)+(R-Q)-(S-P)=\mathbf{0}$ potremo scrivere $(\lambda-1)(R-S)+(\mu-1)(S-P)=\mathbf{0}$ cioè $(R-S)=\alpha(S-P)$ con $\alpha\neq 0$ , quindi per lemma 4

sono allineati e siccome $l(Q,R)\parallel l(P,S)$ dal postulato delle parallele segue che

e quindi

allineati contro l'ipotesi; similmente nei casi in cui abbiamo rette verticali o orizzontali.
Viceversa se

concludiamo da lemma 2 che $l(S,P)\parallel l(R,Q)$ ; ma anche possiamo scrivere

e quindi concludere che $l(S,R)\parallel l(P,Q)$ .

7. PROPOSIZIONE Il piano affine $\mathbf{K}^2$ è desarguesiano.

DIMOSTRAZIONE Proviamo che vale parte I di A4: siamo quindi

due terne di punti distinti, non collineari;

e sia $l(A,A')\parallel l(B,B')\parallel l(C,C')$ ;
supponiamo che $l(A,B)\parallel l(A',B')$ e $l(A,C)\parallel l(A',C')$ : vogliamo provare che $l(B,C)\parallel l(B',C')$ .
Notiamo che

sono i vertici di un parallelogramma e quindi

ed anche

sono i vertici di un parallelogramma da cui

; quindi

e dunque anche

costituiscono i vertici di un parallelogramma per cui $l(B,C)\parallel l(B',C')$ .

Proviamo che vale parte II di A4: $\exists\;P\in\mathcal{P}$ tale che $l(A,A')\cap l(B,B') \cap l(C,C')=\{P\}$ ;
se $l(A,B)\parallel l(A',B')$ e $l(A,C)\parallel l(A',C')$

vogliamo provare che $l(B,C)\parallel l(B',C')$ ; supponiamo senza ledere la generalità che

e quindi da lemma 4 segue che esistono $\alpha , \beta , \gamma\in \mathbf{K}\setminus\{0\}$ tali che $A'=\alpha A$ , $B'=\beta B$ , $C'=\gamma C$ $\;(\ast)$ ; se dimostreremo che $\beta=\gamma$ potremo concludere che $B'-C'=\beta (B-C)$ e dunque che $l(B',C')\parallel l(B,C)$ da lemma 5.
Per ipotesi $l(A,B)\parallel l(A',B')$ e $l(A,C)\parallel l(A',C')$ , condizione che possiamo riscrivere in termini di pendenza (sempre supponendo di non avere a che fare, per semplicità, con rette verticali o orizzontali) come $\displaystyle{\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1}=\frac{b'_2-a'_2}{b'_1-a'_1}}$ e $\displaystyle{\frac{c_2-a_2}{c_1-a_1}=\frac{c'_2-a'_2}{c'_1-a'_1}}$ $\;(\ast\ast)$ ove come al solito si è posto

e cosí via; con questa notazione le equazioni $\;(\ast)$ si possono riscrivere come $a'_1=\alpha a_1$ , $a'_2=\alpha a_2$ , $b'_1=\beta b_1$ , $b'_2=\beta b_2$ e $c'_1=\gamma c_1$ , $c'_2=\gamma c_2$ che immesse nella prima delle equazioni $\;(\ast\ast)$ danno $\displaystyle{\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1}=\frac{\beta b_2-\alpha a_2}{\beta b_1-\alpha a_1}}$ , cosa che implica, basta fare qualche calcolo, $\alpha=\beta$ (si ricordi che

).
Identicamente dalla seconda delle $\;(\ast\ast)$ otteniamo $\alpha=\gamma$ e in definitiva la nostra tesi.
Dovrebbe esser chiaro intuitivamente che se $P\neq \mathbf{0}$ allora potremo sempre ricondurci al caso precedente sottraendo

e ottenendo in tal modo una configurazione che soddisfa, si vede facilmente, l'ipotesi del caso precedente.

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