LE CURVE NELL´ERA MODERNA
Quando il vecchio continente uscì dall´epoca oscura del medioevo, intellettualmente parlando, testi di geometria greca e islamica furono tradotti dall´arabo al latino. Il metodo rigoroso di Euclide venne riletto e nuove importanti scoperte seguirono quelle fatte dagli antichi greci. Tre furono i principali sviluppi in campo geometrico: la geometria analitica, la geometria proiettiva e il calcolo infinitesimale.
In ordine di tempo la geometria analitica fu la prima ad essere ideata dal grande Cartesio e la sua creazione si fa risalire al 1628 quando in una lettera ad un suo amico formula una regola per la costruzione delle radici di qualsiasi equazione di terzo o quarto grado mediante una parabola. Lo scopo di Cartesio era quello di una costruzione geometrica, e non necessariamente la riduzione della geometria all´algebra: si potrebbe caratterizzare l´opera di Cartesio come la traduzione di operazioni algebriche nel linguaggio della geometria. La novità per le curve era che ora esse potevano essere descritte in termini algebrici, senza conoscere esplicitamente la loro forma. Grazie a Cartesio si ha la prima distinzione tra curve algebriche e curve trascendenti (che egli distinse in geometriche e meccaniche). Importante fu anche il contributo di Fermat, che propose un´esposizione molto più sistematica e didattica rispetto a quella di Cartesio. Egli fu il primo ad introdurre ordinate ortogonali rispetto alla retta delle ascisse.
Quasi contemporaneamente, il francese Desargues, pose le basi per la geometria proiettiva, rivistando testi di Apollonio (Le Coniche) e Pappo. La sua idea era molto semplice ed era ricavata dalla prospettiva degli artisti del Rinascimento e dai principi di continuità di Keplero. Egli studiò quali proprietà rimanevano immutate quando il punto di vista cambiava: fu così che scoprì che le coniche rappresentavano un´unica famiglia compatta. La geometria proiettiva aveva notevoli vantaggi rispetto a quella analitica: casi particolari di teoremi si fondevano in una trattazione generale. Tuttavia le sue idee sembrarono troppo innovative e i matematici di allora si dimostrarono avversi.
Più tardi, verso la fine del XVII° secolo, grazie a Leibeniz e Newton, nacque il calcolo infinitesimale, che presto avrebbe portato alla nascita dell´analisi. Già Fermat, Cartesio ed Huygens avevano intuito qualcosa, ma solo con Leibeniz e Newton giunsero ad una vera completa trattazione. Pur non essendo una parte della geometria stessa, il calcolo infinitesimale ha notevoli applicazioni alla geometria. Con essa infatti si giunge finalmente alla soluzione principalmente di due problemi considerati fino ad allora intrattabili: il primo fu quello di trovare le tangenti a qualsiasi tipo di curva (prima era possibile solo per particolari tipi); il secondo è quello di trovare l'area compresa fra due curve.
Un fatto molto importante che diede la nascita a nuove curve fu la scoperta verso la metà del XVIII° secolo da parte di un altro grande matematico Leohnard Euler, delle funzioni iperboliche.