LA LUMACA DI PASCAL

 

 

Storia

La lumaca, o chiocciola, di Pascal prendo appunto il nome dal matematico francese Etienne Pascal, padre del più famoso Blaise Pascal, che per primo ne definì proprietà e caratteristiche. Tuttavia sembra che la curva fosse già nota nel 1200 a Giordano di Nemore, e forse anche agli antichi greci. Anche il pittore, scultore (e matematico) tedesco Albrecht Dürer, nel 1525, pubblicò un libro in cui era presente, insieme a numerose altre curve, la lumaca. Il nome fu coniato per la curva dal matematico francese Roberval, nel 1650, per la sua forma simile ad un guscio di lumaca.

 

 

Costruzione

 

La lumaca di Pascal viene solitamente descritta come la concoide di un cerchio rispetto ad un punto sulla sua circonferenza. Vediamo come: prendiamo un punto fisso sulla circonferenza e sia un punto qualsiasi sulla circonferenza. La lumaca di Pascal è il luogo dei punti e tali che le distanze e siano uguali a una costante , ovvero , al variare del punto sulla circonferenza.

 

 

Equazioni

Se prendiamo le coordinate polari e , rispettivamente corrispondenti nella figura, ad e , dove è il polo e l´asse polare, si ha:

 

 

dove è il raggio fissato della circonferenza interna usato per descrivere la lumaca, mentre è la costante considerata. Da questa si ottiene, con i tipici cambiamenti di coordinate, la seguente equazione cartesiana:

 

 

da cui si evince che la lumaca è una quartica. Bisogna distinguere tre casi: se , la curva si presenta, nella forma usuale, con un anello interno e ha quindi un punto doppio nel punto ; se la lumaca ha un cuspide nel punto ; infine se la lumaca un punto isolato in (sotto si possono vedere i tre casi). In particolare se la curva ha assunto nel tempo il nome di "cardioide": la curva fu studiata da Romer (1674), poi dal matematico de La Hire, allievo di Desargues, che nel 1708 nè trovò la lunghezza, mentre nel 1741 fu de Castillon ad attriburle questo nome per la sua forma simile a quella di un cuore.

 

 

 

Proprietà

Vediamo alcune proprietà della curva. Innanzi tutto la curva può essere ottenuta in molti modi: come inviluppo di circonferenze (ovvero è tangente ad una famiglia di circonferenze); si può anche ottenere facendo ruotare una circonferenza su un´altra circonferenza e considerando la curva data da un punto sulla circonferenza ruotante (nel caso della cardioide). Una proprietà molto importante è che la lumaca di Pascal risolve il problema del ponte levatoio, problema meccanico, risolto per primo dal marchese de l´Hopital, poi anche da altri. Nel caso della cardioide la curva fu presa in considerazione da Romer per essere utilizzata per i denti degli ingranaggi meccanici. Altra proprietà della lumaca, di cui sembra si sia accorto per primo proprio Blaise Pascal, è che essa risolve il problema della trisezione dell´angolo nel caso . Infine, come possiamo vedere sotto la cardioide compare come figura centrale nel famoso frattale di Mandelbrot, e in generale ogni "mini-insieme" del frattale contiene una cardiode.