LA STROFOIDE RETTA

 

 

Storia

La strofoide si trova descritta nella corrispondenza di Evangelista Torricelli, intorno al 1645, anche se sembra sia stata studiata precedentemente dal matematico francese de Roberval. Ci fu una disputa tra i due su alcune scoperte, ed in particolare anche sulla strofoide; tutto ciò era dovuto al fatto che entrambi stavano lavorando agli stessi argomenti appartenendo al circolo che faceva capo a padre Mersenne, ed è dunque probabile siano arrivati contemporanemente alle stesse scoperte indipendentemente. La curva fu anche studiata da Barrow, intorno al 1670, il quale fu il maestro di Newton. Il nome strofoide, fu coniato da uno scrittore francese, Montucci, nel 1846, e deriva dal greco strophos che significa "cintura con anello atto a portare la spada". Per le numerose proprietà in relazione con i logaritmi ed il cerchio, la curva viene detta "logociclica"; inoltre per alcune proprietà collegate alla nozione di gruppo armonico, viene anche detta "armonica".

 

 

Costruzione

Vediamo come costruire la curva: sia data una retta ed un punto che chiameremo polo. Ora consideriamo la perpendicolare alla retta passante per il punto , la quale intersecherà la retta nel punto . Tracciamo ora una linea partente dal punto che taglierà la retta nel punto . Chiameremo strofoide retta il luogo dei punti e tali che si abbia: . Questa descrizione porta ad una strofoide così detta retta, per distinguerla dalla strofoide obliqua la cui costruzione muta solo nella scelta del punto , non più ai piedi della perpendicolare ad , ma in un qualsiasi altro punto sulla retta stessa.

In realtà de Roberval, a quanto pare, trovò la curva come risultato di un piano che taglia un cono: quando il piano ruota (rispetto alla tangente al vertice del cono) il luogo dei fuochi della conica ottenuta dà la strofoide.

 

 

Equazioni

Facendo riferimento alla figura precedente, considerate le coordinate e , si ottiene la seguente equazione polare, preso come centro e come asse:

 

 

dove è la lunghezza del segmento . Le sostituzioni standard per e danno la seguente equazione cartesiana:

 

 

se prendiamo per centro il punto degli assi il punto , si ottiene la più usuale forma di equazione cartesiana:

 

 

nel primo caso la retta è l´asintoto nel secondo caso lo è la retta .

 

 

Proprietà

 

Vediamo alcune proprietà metriche della curva: l´area all´interno del "loop" è di mentre l´area tra la curva e l´asintoto vale . Abbiamo detto che quella descritta è la strofoide retta. L´aggettivo retta sta ad indicare che nella costruzione abbiamo preso la linea direttrice perpendicolare al segmento ; se prendiamo una retta obliqua, dalla costruzione risulterà un strofoide obliqua (come si vede in figura sopra). In realtà si può generalizzare ancora di più la costruzione trovando diverse curve: ad esempio se al posto della retta direttrice si usa una circonferenza con polo nel suo centro, si ottiene la cosiddetta strofoide (o nefroide) di Freeth; il matematico inglese se ne servì per la costruzione di un eptagono regolare. Variando il parametro la curva può essere utilizzata per costruire poligoni regolari a 9 e 11 lati. Curiose anche le strofoidi aventi polo all´infinito: un esempio ne è la strofoide a tre petali relativa ad una cerchio con polo sulla circonferenza (sotto a sinistra la strofoide di Freeth, a destra la strofoide a tre petali). Ricordiamo inoltre che la strofoide può essere ottenuta come cissoide di una circonferenza, di una retta passante per il centro della circonferenza e polo sulla circonferenza.