TEOREMA 8:

Sia f(x) un polinomio di K[x] e a una radice di f(x). Allora a è una radice multipla se e solo se f ' (x) = 0.

Questo teorema stabilisce una connessione tra le derivate di un polinomio e le sue radici multiple.

Infatti dice che le radici multiple di f(x) non sono altro che le radici della derivata di f(x).

Corollario 6:

Supponiamo che la caratteristica di K sia p > 0 e sia n un numero intero positivo divisibile per p.

Allora il polinomio xⁿ – x non ha radici multiple in K.

Proposizione 33:

Un polinomio f(x) di K[x] non ha radici multiple se e solo se f(x) è relativamente primo ad f '(x) in K[x];

In un campo a caratteristica 0 il teorema 8 può essere rafforzato:

Sia K un campo di caratteristica 0 e f(x) un polinomio di grado positivo in K[x]. Sia a una radice di f(x).

La proposizione 34 è falsa in un campo di caratteristica positiva.

Infatti, per esempio, supponiamo che K abbia caratteristica p > 0. Poniamo f(x) = x^{2p + 1} + x^p, a = 0.

In questo caso la molteplicità di a come radice di f '(x) è maggiore della la molteplicità di a come radice di f(x).

Per ogni polinomio f(x) a coefficienti nel campo complesso C con radici multiple si può trovare un polinomio g(x),

sempre a coefficienti in C, che ha le stesse radici di f(x), ma tutte semplici.

Questo è quanto dice la seguente:

Proposizione 35:

Sia f(x) un polinomio complesso di grado positivo e chiamiamo d(x)C[x] il massimo comun divisore di f(x) e della sua

derivata f '(x).

Allora le radici in C del quoziente f(x)/d(x) sono le stesse radici di f(x) e sono tutte semplici.