La derivata di una funzione di variabile reale viene introdotta sin dalle scuole superiori attraverso un procedimento di passaggio

al limite, che però non ha senso in un campo arbitrario.

Tuttavia la derivata di una funzione polinomiale reale è ancora una funzione polinomiale, data da una formula esplicita che
ha senso in un qualsiasi campo.

DEFINIZIONE 40:

Sia K un campo e sia f(x) = a₀ + a₁x +…+ a_n xⁿ un polinomio a coefficienti in K.

La derivata di f(x), denotata con f ', oppure con Df , è il polinomio a coefficienti in K definito da:

f ' (x) = Df(x) = a₁ + 2a₂x + 3a₃x² +…+na_n x^{n – 1}.

Più formalmente, il coefficiente di grado i di f ' (x) è (i + 1)a_i+1.

---

C’è una profonda differenza tra la derivata di un polinomio su un campo di caratteristica 0 e su uno di caratteristica positiva.

Se K ha caratteristica 0 e a è un elemento non nullo di K, allora

se invece K ha caratteristica positiva p, allora

Quindi se K ha caratteristica 0 e f(x) è un polinomio di grado n > 0, la derivata f ' (x) avrà grado n – 1, perché in tal caso na_n è non nullo.

La stessa cosa succederà se K ha caratteristica positiva p e n = deg(f(x)) non è divisibile per p;

se, invece, n è divisibile per p, allora deg(f ' (x)) < n – 1.

Potrà allora succedere che la derivata di f(x) sia nulla, pur avendo f(x) grado arbitrariamente alto.

Proposizione 32:

La derivata di un polinomio definita sopra ha molte delle proprietà formali della derivata di funzioni:

1. La derivata di un polinomio costante è 0;

2. Se f(x) = axⁿ, allora f ' (x) = nax^{n –1};

4. Se f(x) e g(x) sono polinomi a coefficienti in un campo K, allora (f(x) + g(x))' = f ' (x) + g ' (x);

5. Formula di Leibniz: f(x) e g(x) polinomi in K[x], allora (f(x)g(x))' = f(x)g ' (x) + f ' (x)g(x);

La derivata di un polinomio dà anche un omomorfismo di gruppi dall’anello dei polinomi a se stesso.

Infatti consideriamo la funzione

che ad un polinomio f(x) associa la sua derivata Df(x).

Segue dal punto 4 della proposizione 32 che:

dati due polinomi f(x) = a₀ + a₁x +…+ a_n xⁿ e g(x) = b₀ + b₁x +…+ b_n xⁿ in K[x],

D(f(x) +g(x))= D(f(x)) + D(g(x)),

per cui Df è un omomorfismo di gruppi.

Il punto 5 della proposizione 32 mostra invece che Df non è un omomorfismo di anelli.