Dimostrazione

Dimostreremo solo il punto 4 e la formula di Leibniz.

4. Siano f(x) = a₀ + a₁x +…+ a_n xⁿ e g(x) = b₀ + b₁x +…+ b_n xⁿ due polinomi di K[x]. Allora:

D(f(x) +g(x)) = D((a₀ + b₀) + (a₁ + b₁)x + (a₂ + b₂)x² +…+ (a_n + b_n)xⁿ) =

= (a₁ + b₁) + 2(a₂ + b₂)x +...+n(a_n + b_n)x^{n – 1} =

= (a₁ + 2a₂x +…+ na_n x^{n – 1})+ (b₁ + 2b₂x +…+ nb_n x^{n – 1}) = D(f(x)) + D(g(x));

5. Formula di Leibniz: osserviamo prima di tutto che dal punto 3 segue, per induzione su r, che se:

Quindi se supponiamo di sapere che:

Perciò basta dimostrare la formula quando f è un monomio.

Alla stessa maniera possiamo ridurci al caso in cui g è un monomio.

Poniamo dunque f(x) = ax^m, g(x) = bxⁿ. Si ha:

f '(x)g(x) + f(x)g '(x) = (max^{m -1})( bxⁿ) + (ax^m)(nbx^{n -1}) = (mab)x^{n + m –1} + (nab) x^{n + m –1} =

= (m + n)abx^{n + m –1} = (abx^m+n)' = (fg)'(x). (c.v.d.)