DEFINIZIONE 6:

 

Sia D un dominio di integrità. Sia a diverso da 0 un elemento di D e m un intero. Allora D è un dominio a caratteristica 0 se:

 

la relazione ma =  0 sussiste solo nel caso in cui m = 0.

 

 

Nota bene: se m è un intero e a è un elemento di D, con la notazione ma si intende la somma a + …+ a , m-volte.

 

 

 

L’anello degli interi è un dominio a caratteristica zero come pure l’anello degli interi pari e dei razionali.

 

       

        DEFINIZIONE 7:

 

Un dominio di integrità è a caratteristica finita se esiste un intero positivo m tale che:

 

dove se m è un intero e a è un elemento di D, con la notazione ma si intende la somma a + …+ a , m-volte.

 

Se D è a caratteristica finita si definisce la caratteristica di D come il più piccolo intero positivo p tale che:

 

dove se p è un intero e a è un elemento di D, con la notazione pa si intende la somma a + …+ a , p-volte.

 

 

 

 

OSSERVAZIONE:

 

Perché non definire la caratteristica anche per un anello arbitrario lasciando cadere l’ipotesi di dominio di integrità? Spieghiamolo tramite un esempio.

 

Sia    A = { (a, b, c) / a  Z 2, b  Z 3,  c  Z }, dove Z 2 è l’insieme degli interi mod 2, Z 3 l’insieme degli interi mod 3.

 

+ : (a1, b1, c1) + (a2, b2, c2) = (a1+ a2, b1+ b2, c1+ c2);

 

* : (a1, b1, c1)(a2, b2, c2) =  (a1a2, b1b2, c1c2).

  In questo modo A, con le operazioni sopra definite, forma un anello commutativo, ma non è un dominio di integrità,infatti:

        (1, 2, 0)(0, 0, 7) = (0, 0, 0).

 

Vediamo quindi cosa succede in A:

·        2(1, 0, 0) = (1, 0, 0) + (1, 0, 0) = (0, 0, 0) poiché nella prima componente la somma si effettua in Z 2;

·        3(0, 1, 0) = (0, 0, 0) poiché nella seconda componente la somma si effettua in Z 3;

·         per nessun intero positivo m si ha che: m(0, 0, 1) = (0, 0, 0).

 

In A la definizione di caratteristica data prima non ha senso.

 

 

Si può però dare per anelli arbitrari una definizione locale di caratteristica, una definizione, cioè, che riguarda dati elementi e non tutto l’anello.       

 

 

        DEFINIZIONE 8:

 

Un anello A ha torsione n,  n > 0,  se esiste un elemento a non nullo in A tale che:

 

 

 

 

 

 



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