Dimostrazione

1. (): supponiamo che f(x) e f '(x) siano relativamente primi in K[x] e prendiamo s(x) e t(x) in K[x] tali che:

s(x)f(x) + t(x)f '(x) = 1.

Se a è una radice complessa di f(x) allora: 1 = s(a)f(a) + t(a)f '(a) = t(a)f '(a) e quindi a non è radice di f '(x).

(): assumiamo che f(x) e f '(x) non siano relativamente primi e sia d(x) un massimo comun divisore di

f(x) e f '(x) in K[x].

Allora d(x) ha grado positivo e quindi avrà una radice complessa a.

Siccome d(x) divide f(x) e d(x) divide f '(x) abbiamo che a deve essere radice sia di f(x) che di f '(x)

e questa è una contraddizione;

2. Se f(x) è irriducibile in K[x] allora f(x) ha grado positivo e, dal momento che K ha caratteristica 0,

f '(x) avrà grado deg(f(x)) – 1.

Perciò f '(x) è non nulla e f '(x) non è divisibile per f(x).

Allora f(x) e f '(x) sono relativamente primi e quindi f(x) non ha radici multiple. (c.v.d.)