Dimostrazione

Poniamo g(x) = f(x)/ g(x). Innanzitutto si ha f(x) = d(x)g(x), per cui le radici di g(x) sono anche le radici di f(x).

Sia ora a un numero complesso, a una radice di f(x) di molteplicità m. Allora, per la proposizione 34,

ossia (x - a)^{m – 1} divide f '(x), ma (x - a)^m non lo divide.

Ciò significa che (x - a)^{m – 1} dividerà d(x), mentre(x - a)^m non lo dividerà, ovvero

Ne segue che (x - a) deve dividere g(x), perché altrimenti la molteplicità di a come radice di f '(x)

sarebbe uguale a m - 1, mentre (x - a)² non divide g(x), perché altrimenti la molteplicità di a come radice di f(x)

sarebbe maggiore di m.

Questo significa che a è una radice semplice di g(x). (c.v.d.)