Dimostrazione
Per il
teorema 6 abbiamo che f(x) è divisibile per x – a, essendo f(a)
= 0.
Scriviamo f(x) = (x
– a)g(x), con g(x)
a coefficienti in K.
La
costante a è una radice multipla di f(x) se e solo se (x
– a)2 divide f(x).
Se (x – a) divide g(x), allora ovviamente (x
– a)2 divide f(x);
se (x – a)2 divide f(x) allora: (x – a)g(x) = f(x)
= (x – a)2q(x),
per un certo q(x) in K[x].
A
questo punto, semplificando, si ha che: g(x)
= (x – a)q(x).
Perciò a è una radice multipla di f se e solo se (x – a) divide g(x), ossia se e solo se g(a)
= 0.
Derivando entrambi i termini
dell’equazione (x – a)g(x) = f(x), otteniamo:
f '(x) = ((x - a)g(x))' = (x
- a)' g(x) + (x - a)g'(x)
= g(x) + (x - a)g'(x).
Andando a sostituire a per x
si ha: f '(a) = g(a) + (a - a)g'(a)
= g(a) = 0, per cui la conclusione. (c.v.d.)
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