DEFINIZIONE 37:
Sia K un campo. Un elemento
adi K si dice radice, o zero, di un polinomio f(x)di K[x]
se:
f(a) = 0.
Per il teorema 6 questa
definizione è equivalente a dire che:
Sia f(x) un
polinomio non nullo a coefficienti in K e sia a un elemento di K.
La molteplicità
di a come radice di f(x),
in simboli
è il massimo intero non negativo m
tale che (x - a)m divide f(x).
Una radice di un polinomio è detta
multipla se
ha molteplicità maggiore di 1, altrimenti è detta semplice.
Il grado di (x - a)m
è m, per cui si ha che:
In più dal teorema 6 risulta che:
La molteplicità di a come
radice di f(x) è l’unico intero m tale che f(x)
= (x - a)mg(x) per un certo polinomio g(x)
con g(a) non nullo.
Possiamo scrivere f(x)
= (x - a)mg(x), perché (x - a)m
divide f(x) e g(a) è non nullo, altrimenti
(x - a)m
dividerebbe g(x) e quindi (x - a)m+1
dividerebbe f(x).
Viceversa: supponiamo di avere
scritto:
allora (x - a)n
divide f(x), mentre (x - a)k non
può dividere f(x) per nessun k > n.
Se fosse f(x) = (x
- a)kq(x), con k > n, avremmo
anche: (x - a)ng(x) = (x - a)kq(x),
da cui, semplificando per (x - a)n,
g(x) = (x - a)k
– nq(x) e quindi g(a) = 0, contro
l’ipotesi che g(a) fosse diverso da 0.
Quindi m = n.
Un polinomio irriducibile in K[x]
ha una radice in K se e solo se ha grado 1.
|
|
