DEFINIZIONE 37:

 

        DEFINIZIONE 37:

 

Sia K un campo. Un elemento adi K si dice radice, o zero, di un polinomio f(x)di K[x] se:

 

f(a) = 0.

 


 

 

Per il teorema 6 questa definizione è equivalente a dire che:

 

 

 

 

        DEFINIZIONE 38:

 

Sia f(x) un polinomio non nullo a coefficienti in K e sia a un elemento di K.

La molteplicità di a come radice di f(x), in simboli

è il massimo intero non negativo m tale che (x - a)m divide f(x).

 

Una radice di un polinomio è detta multipla se ha molteplicità maggiore di 1, altrimenti è detta semplice.

 


 

 

Il grado di (x - a)m è m, per cui si ha che:

 

In più dal teorema 6 risulta che:

 

 

La molteplicità di a come radice di f(x) è l’unico intero m tale che f(x) = (x - a)mg(x) per un certo polinomio g(x) con g(a) non nullo.

Possiamo scrivere f(x) = (x - a)mg(x), perché (x - a)m divide f(x) e g(a) è non nullo, altrimenti

(x - a)m dividerebbe g(x) e quindi (x - a)m+1 dividerebbe f(x).

Viceversa: supponiamo di avere scritto:

allora (x - a)n divide f(x), mentre (x - a)k non può dividere f(x) per nessun k > n.

Se fosse f(x) = (x - a)kq(x), con k > n, avremmo anche: (x - a)ng(x) = (x - a)kq(x), da cui, semplificando per (x - a)n,

g(x) = (x - a)knq(x) e quindi g(a) = 0, contro l’ipotesi che g(a) fosse diverso da 0.

Quindi m = n.

 

 

Proposizione 31:

 

Un polinomio irriducibile in K[x] ha una radice in K se e solo se ha grado 1.

dimostrazione

 

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