Soluzione
20.
- Come visto
nella soluzione
dell'esercizio 2, il grado
di 1+∛2 su Q
è 3. Corrispondentemente, il grado dell'estensione
di campi Q(1+∛2)/Q è: [Q(1+∛2):Q]=3<∞.
Il fatto che l'estensione è finita implica che
essa è algebrica
ovvero che ogni elemento di (1+∛2) è
algebrico sui
razionali.
I
gradi possibili per elementi di un'estensione di campi finita di grado
3 sono 1 e 3 infatti, in Z,
1 e 3 dividono
3 mentre 2 non divide 3. Infatti se a∈Q(1+∛2)
avesse grado 2 su Q,
si avrebbe: Q⊆Q(a)⊆Q(1+∛2)
e per il Teorema della Torre
2 dovrebbe dividere 3: [Q(1+∛2):Q]=[Q(1+∛2):Q(a)]·[Q(a):Q].
Gli
elementi di Q(1+∛2)
che hanno grado 1 sono tutti
e soli i razionali a (essi hanno infatti polinomio minimo x-a
di grado 1 a coefficienti razionali)
mentre hanno grado 3 tutti gli altri.
- Ancora una volta si può sfruttare il
fatto (vedi ancora esercizio 13b)
che: Q(1+∛2)=Q(∛2)
mentre, del tutto analogamente: Q(1+∛-2)=Q(∛-2)=Q(-∛2)=Q(∛2).
Dunque le due estensioni coincidono.
- Essendo il polinomio x2+1
irriducibile in Q(∛-2)[x]
per quanto visto nel punto (a),
l'ideale (x2+1)
è massimale in Q(∛-2)[x],
da cui l'anello quoziente Q(∛-2)[x]/(x2+1)
è ancora un campo.
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