Estensioni di campi - 2


Morfismo di valutazione. Siano A e B anelli, A sottoanello di B, e sia u un fissato elemento di B. Come è facile verificare l'applicazione di valutazione in u, φu : A[x]→B con φu(f)=f(u), è un morfismo di anelli, conserva infatti somma, prodotto ed elemento neutro del prodotto.


Sottoanello generato da A e da u. Per il teorema fondamentale di omomorfismo per gli anelli si ha, tra A[x]/Keru) ed Imu), l'isomorfismo di anelli che ad f+Ker(φu) associa f(u). L'immagine del morfismo di valutazione Im(φu)={f(u) | fA[x]} è un sottoanello di B detto sottoanello generato da A e da u e denotato con A[u]. Esso è il piu piccolo anello che contiene sia A che u ed è inoltre l'intersezione di tutti i sottoanelli di B che contengono sia A che u.

Esempio 1. Consideriamo l'estensione di campi R/Q e sia u=√2. Allora, il morfismo di valutazione in √2 è: φ√2 : Q[x]R, φ√2(f)=f(√2). L'immagine di φ√2 risulta:

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Esempio 2. Sia Z l'anello degli interi, sottoanello del campo dei razionali Q, e sia 1/3Q. In questo caso φ1/3 : Z[x]Q, φ1/3(f)=f(1/3) e l'immagine è:

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Guardiamo cosa succede nel caso particolare dei campi. Sia F/K estensione di campi e sia uF. Come sopra, l'applicazione di valutazione in u φu : K[x]→F, φu(f)=f(u) è un morfismo di anelli e:


K[u]=\text{Im}(\varphi_u)=\left\{f(u)\vert{f\in K[x]}, {u\in F}\right\}

è un sottoanello del campo F.


Il nucleo di φu è un ideale di K[x] e non coincide mai con K[x] in quanto nessun polinomio costante diverso da 0 di K[x] si annulla in u.

Essendo K[x] (anello dei polinomi nell'indeterminata x con coefficienti nel campo K) un dominio euclideo, esso è necessariamente anche un dominio ad ideali principali (PID), dunque deve esistere un suo elemento h che da solo generi l'ideale Ker(φu).


Si hanno dunque due casi:

  1. φu iniettiva se e solo se Keru)=(0), quindi se e solo se u è trascendente su K
  1. φu non iniettiva se e solo se Ker(φu)≠(0), quindi se e solo se u è algebrico su K.

In questo caso esiste un unico polinomio di K[x] monico e tale che l'ideale da esso generato coincida con Ker(φu). Questo polinomio è detto polinomio minimo di u su K e si denota con pu. Esso dipende da F/K e dalla scelta di u in F.

Ogni polinomio a coefficienti in K che si annulla in u appartiene all'ideale (pu) e dunque ha pu come divisore.


Lemma. Se uF è algebrico su K, pu è l'unico polinomio monico ed irriducibile in K[x] che si annulla in u.




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