Vediamo alcune proprietà che si
mantengono tra anelli isomorfi.
Sia f da A a B un isomorfismo di anelli commutativi:
- Sia a un elemento di A e supponiamo che a sia un divisore dello zero in A. Questo significa che:
Allora f(a)f(x) = f(ax) = f(0) = 0 e f(x) è non nullo poiché f è iniettiva
Quindi anche f(a) è un divisore dello zero in B.
Un isomorfismo manda divisori dello zero in divisori dello zero.
Viceversa: se f(a) è un divisore dello zero in B, allora l’isomorfismo inverso
manda f(a) in a,
e perciò anche a sarà un divisore dello zero.
a è un divisore dello
zero se e solo se f(a) è un divisore dello zero.
A è un dominio di
integrità se e solo se anche B lo è;
- Sia a
A*=
A \{0} un’unità. Allora 1 = f(1) = f(aa-1)
= f(a) * f(a)
. Quindi anche f(a) è un’unità e si ha che
f(a-1) = f(a)-1.
Essendo f un isomorfismo, possiamo concludere, considerando l’isomorfismo inverso, che:
a è invertibile in A se e solo se f(a) è invertibile in B.
A è un campo se e solo se anche B lo è.
Da notare che, in questo caso, f
da una bisezione tra A* e B*, che è
ovviamente un omomorfismo di gruppi abeliani , quindi A* e B*
sono isomorfi come gruppi abeliani.
Teorema fondamentale di omomorfismo di
anelli
Sia f da A a B un omomorfismo di anelli commutativi.
Esiste un isomorfismo di anelli
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