Vediamo alcune proprietà che si mantengono tra anelli isomorfi

 

Vediamo alcune proprietà che si mantengono tra anelli isomorfi.

 

    Sia f da A a B un isomorfismo di anelli commutativi:

 

  1. Sia a un elemento di A e supponiamo che a sia un divisore dello zero in A. Questo significa che:

      Allora f(a)f(x) = f(ax) = f(0) = 0 e f(x) è non nullo poiché f è iniettiva

      Quindi anche f(a) è un divisore dello zero in B.

Un isomorfismo manda divisori dello zero in divisori dello zero.

 

Viceversa: se f(a) è un divisore dello zero in B, allora l’isomorfismo inverso

manda f(a) in a, e perciò anche a sarà un divisore dello zero.

 

a è un divisore dello zero se e solo se f(a) è un divisore dello zero.

 

A è un dominio di integrità se e solo se anche B lo è;

 

  1. Sia a  A*= A \{0} un’unità. Allora 1 = f(1) = f(aa-1) = f(a) * f(a). Quindi anche f(a) è un’unità e si ha che f(a-1) = f(a)-1.

Essendo f un isomorfismo, possiamo concludere, considerando l’isomorfismo inverso, che:

 

a è invertibile in A se e solo se f(a) è invertibile in B.

 

 A è un campo se e solo se anche B lo è.

 

Da notare che, in questo caso, f da una bisezione tra A* e B*, che è ovviamente un omomorfismo di gruppi abeliani , quindi A* e B* sono isomorfi come gruppi abeliani.esempi



 

 

Teorema fondamentale di omomorfismo di anelli

 

Sia f da A a B un omomorfismo di anelli commutativi.

Esiste un isomorfismo di anelli

 



dimostrazione

esempi



 

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