ELEMENTI DI TEORIA INGENUA DEGLI INSIEMI



    INDICE:

    Nozioni preliminari, Notazioni.

    Operazioni tra insiemi.


    Partizioni ed  Insieme  quoziente.




Nozioni preliminari, Notazioni.


    Penseremo un insieme come una "collezione" di oggetti (in generale facente parte di un fissato universo di discorso).   Un insieme può essere espresso in due modi :


    1) elencandone tutti gli elementi ;


    2) fornendo una proprietà che caratterizza i suoi elementi.


In generale si usano parentesi graffe per denotare insiemi; ad esempio, con la notazione di tipo 1):

 

A = {a , e , i , o , u} ,          B = {3 , 41 , 5 , 1 , 2}

 

indicano l’ insieme delle vocaliAed un insieme che ha come elementi i numeri   3 , 41 , 5 , 1 , 2  (gli insiemi vengono in genere indicati con una lettera maiuscola).


    La notazione di tipo 1) è ovviamente possibile soltanto per insiemi finiti e non ad esempio per l’ insieme dei numeri naturali  N, per il quale si può comunque usare una notazione come:

N = {0 , 1 , 2,  3, ... }  

dove l'utilizzo dei puntini è il mezzo per ovviare all'impossibilità di scrivere infiniti elementi.
    Useremo questo artificio quando la successione di elementi che costituiscono l'insieme prosegue in modo ovvio.  La scrittura precedente è da  non confondere naturalmente con l’ insieme 
{0 , 1 , 2,  3}  che ha invece solo 4 elementi.


Altri  esempi :

C = { }   ,   D = {+, - , :  , }.

 

 

Il secondo modo per specificare  un insieme è mostrato dai seguenti esempi:

 

A= {x naturale |  x < 5 }     o    B = {x naturale |  x è dispari e x < 8}.


    Qui ad esempio l'insieme A si legge come  "l'insieme dei numeri naturali  tali che  x  è minore di 5".

 

 

    Questo  rappresenta un altro modo per specificare gli elementi di un insieme, visti nel modo 1), gli elementi dell’ insieme A sono 1,2,3,4 mentre quelli dell’ insieme  B sono 1,3,5,7.

 

    Un insieme particolare è l’insieme vuoto,  un insieme che non contiene nessun elemento. Esso è indicato con il simbolo: .

 

    Per indicare che un elemento  a  appartiene ad un insieme A si usa il simbolo " ", scrivendo  a A ;  ad esempio se consideriamo  l’insieme  B = {3 , 41 , 5 , 1 , 2},  possiamo scrivere che   41  B.


    Se invece un elemento x non appartiene ad un insieme A si usa il simbolo , scrivendo x A .

 

Definizione:  Se abbiamo due insiemi A e tali che ogni elemento  dell’ insieme B sta anche in A, diremo che B è un sottoinsieme di A , scrivendo  B A .


    Ad esempio se   A = {1,2,3,5}   e   B = {1,2},  allora  B  A .   Invece  l’insieme  C = {1,2,4} non è un sottoinsieme di  A e si usa il seguente modo per indicarlo:   C A.

 

 

 

Definizione:   Due  insiemi A e B sono uguali se ogni elemento di A è anche elemento di B e, viceversa,  ogni elemento di B è anche elemento di A.

 

Esempi: 

                                                          

1)    A = {2 , 5 , 6 , 7} ;         B = {5 , 6 , 7 , 2}

 

        sono uguali perché ogni elemento di A è elemento di B e viceversa.

 

2)    C = {3 , 4 , 5 , 6 , 8} ;     D = {3 , 4 , 8 , 6 , 2}


       non sono uguali, ad esempio  5 C , ma  5  D .

 

     Possiamo osservare dai due esempi che quando scriviamo un insieme, non ha importanza l'ordine in cui scriviamo i suoi elementi.





 

Operazioni tra insiemi.


    Considereremo le seguenti operazioni fra insiemi:

 
  
  1)   Unione

2)      Intersezione

3)      Differenza

4)      Prodotto cartesiano



 

1)   Unione

 
DefinizioneDati due insiemi A e B, si dice  unione di A e B  l'insieme  A  B  che  contiene sia gli elementi di A che di B,  cioè:

A  B  =  {x tali che  x A  oppure  xB }.

 

 

 

Esempio:

A ={1 , 2 , 3} ,   B ={3 , 5 , 7}

 

L’ unione è

 

A  B = {1 , 2 , 3 , 5 , 7}

 



2)   Intersezione.


DefinizioneDati due insiemi A e B, si dice  intersezione di A e B  l'insieme  A  B  che  contiene sia gli elementi comuni ad A e a B,  cioè:

A  B  =  {x tali che  x A  xB }.
 

 

 Esempio

G = {2 ,  4 , 3}  ,   F = {2 , 6 , 3}

                                                                                                          

F = {2 , 3}

 

 

 

L’ intersezione tra due insiemi può essere anche vuota, ad esempio:

 

A = { }   e   B = {}

 

A B =

                                                                             



 

 

2)   Differenza.


Definizione Dati due insiemi A e B, si dice differenza di A e B  l'insieme   A \  B  che  contiene sia gli elementi che stanno in A e non in Bcioè:

A \  B  =  {x tali che  x A  xB }.
 

Esempio    

A = {1 , 3 ,5 , 6 }  ,        B = {1 , 3 , 4}

 

La differenza  è l’ insieme   A \  B  =  {5 , 6} .

 

 

Notiamo che (al contrario di unione ed intersezione) la   differenza  non  é  un'operazione commutativa,   infatti   utilizzando  la definizione  abbiamo nell'esempio precedente:   B \ A = {4} .

 



Diamo una rappresentazione visiva di queste operazioni fra insiemi:

 

 

     Se: