FUNZIONI FRA INSIEMI

     Vediamo adesso un concetto molto importante in matematica, quello di  funzione.  Quella che segue è una definizione un po' intuitiva  di che cosa si intende per funzione:

Definizione:  Dati due insiemi A e B si dice funzione (o anche applicazione) da A a B una legge che ad ogni elemento dell’ insieme A associa uno ed un  solo elemento di B .

In genere le funzioni si indicano con le lettere minuscole; per indicare che f è una funzione da A a B si scrive 

f : A B

    Se abbiamo una funzione  f: A B   ed  a A , sia  b B  l’elemento di B associato all’elemento a dalla  f ;  allora  diremo che
"la  f   porta  a  in  b", e  scriveremo  in simboli:    f(a) = b.

Vediamo due esempi tramite una rappresentazione visiva:

Le due figure qui sopra illustrano due esempi di funzioni : nel primo caso  gli insiemi

A ={a₁,a₂,a₃}  e  B ={b₁,b₂,b₃}

hanno tre elementi ciascuno e la funzione porta ogni elemento a_i di  A  nell’elemento  b_i  di B   (ove  i = 1,2,3 ),  cioè  f(a_i) = b_i .

    In questo esempio la legge f è una funzione:  ad ogni a_i  si associa uno ed un solo elemento di B , cioè  b_i.

   
    Nel secondo esempio gli insiemi sono gli stessi, ma ora la funzione porta gli elementi  a₁ e a₂  in  b₁ e l’elemento a₃ in b₂ , mentre nessuno elemento di  A viene portato in b₃.  Anche questo è un esempio di funzione, notiamo che nulla vieta che una funzione porti due o più elementi di A in uno stesso elemento di B.

Consideriamo altri due esempi in figura:

    Entrambe le leggi illustrate non sono funzioni perché  nella prima figura all’elemento a₃ non è associato nessun elemento di B , mentre nella seconda  l’elemento a₁ viene portato sia in  b₁ che in  b₂ ,  mentre la definizione di funzione ci dice che si deve associare ad ogni elemento di  A  uno ed un solo elemento di B.

Definizione:     Sia data una funzione    f : X Y  .  Allora  diremo immagine di X  (tramite f), o anche immagine di f,  l’ insieme

 im X  =  im f = {y Y | esiste  x X , con  y = f(x)} .

     Analogamente, se  A  è un sottoinsieme di X , diremo immagine di A  (tramite f):

im A = {y Y | esiste  x A , con  y = f(x)}.

Definizione:     Sia data una funzione    f : X Y  . Sia  B Y ; si  dice  immagine  inversa di B  (secondo f ) l’ insieme :

B ^-1 = {x X  |  f(x) B }

Proprietà delle funzioni.

Definizione:     Sia data una funzione    f : X Y ; essa si dice  suriettiva  se  f(X) = Y  cioè  se  l'immagine di  f  è tutto Y .

Definizione:     Sia data una funzione    f : X Y ; essa si dice  iniettiva   se x₁ , x₂ X  si ha :

   f(x₁) = f(x₂)  se e solo se   x₁ = x₂ .

_.

Definizione:     Una funzione    f : X Y

   Le funzioni che ci interessano sono quelle fra insiemi numerici, per vedere qualche esempio:    

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