Soluzione 13.

1. u=∛5  ⇒  u³=5  ⇒  p_u(x)=x³-5 è il polinomio minimo di u su Q: esso è infatti monico, irriducibile (ha tre radici complesse di cui una reale u ma nessuna razionale e quindi non ha un fattore lineare in Q[x]), a coefficienti razionali e si annulla in u. Più precisamente le radici di p_u sono u, μu, μ²u, dove μ=cos(2π/3)+i·sen(2π/3) è radice cubica complessa primitiva di 1. Si ha ora che [F:Q] è uguale al grado di p_u che è 3.

2. Si ha: v∈Q(u), essendo v somma di due elementi di Q(u), e: u∈Q(v), essendo: u=v+2. Dunque valgono entrambe le inclusioni: Q(v)⊆Q(u) e Q(u)⊆Q(v), cioè: Q(v)=Q(u).

3. Come visto nel punto (a), si ha: x³-5=(x-u)(x-μu)(x-μ²u).

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