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25. DEFINIZIONE-PROPOSIZIONE Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V},\;\;O\in\mathcal{A},\;\;\lambda\in\mathbf{K}\setminus\{0\}$.
Consideriamo l'isomorfismo $\Phi$ tra $\mathsf{Aff}_{\mathbf{K}}(\mathcal{A})_{O}$ e $\mathsf{GL}(\mathbf{V})$ (vedi def.-proposizione 24) e consideriamo l'affinità che fissa $O\;\;\;\;\Phi^{-1}(\lambda id_{\mathbf{V}})$.
Essa è detta omotetia di centro $O$ e fattore $\lambda$ e verrà denotata con il simbolo $h_{O,\lambda}$.
Per definizione si ha quindi $h_{O,\lambda}(P)=Q\;\Leftrightarrow\;\overrightarrow{OQ}=\lambda\overrightarrow{OP}$ (infatti per definizione di affinità $\overrightarrow{f(M)f(P)}=\varphi(\overrightarrow{MP})\;\;\forall M,P \in\mathcal{A}$ e scegliendo $M=O$ e ricordando che $O$ è fissato da $h_{O,\lambda}$ e che la parte lineare di $h_{O,\lambda}$ è $\lamda id_{\mathbf{V}}$ otteniamo quanto detto).
Dimostriamo che $\mathsf{H}_{O}:=\{h_{O,\lambda},\;\;\lambda\in\mathbf{K}\setminus\{0\}\}$ è un sottogruppo di $\mathsf{Aff}_{\mathbf{K}}(\mathcal{A})_{O}$
che l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} \mathbf{K}\setminus\{0\} &\longrightarrow & \mathsf{H}_{O} \\ \lambda &\mapsto &h_{O,\lambda} \end{array}\end{displaymath}

dà un isomorfismo tra il gruppo moltiplicativo di $\mathbf{K}$ e il gruppo delle omotetie di centro $O$.

DIMOSTRAZIONE
  • Dimostriamo che la composizione è operazione interna in $\mathsf{H}_{O}$: siano $\lambda,\mu\in\mathbf{K}\setminus\{0\},\;\;P\in\mathcal{A}$ poniamo
    $(h_{O,\lambda}\circ h_{O,\mu})(P)=h_{O,\lambda}( h_{O,\mu}(P))=Q$ e
    $h_{O,\lambda\mu}(P)=S$.
    Affermiamo che $Q=S$ (e ciò ci permette di concludere, infatti $h_{O,\lambda\mu}$ è ancora omotetia di centro $O$ dato che $\lambda\mu\in\mathbf{K}\setminus\{0\}$).
    Infatti porre $h_{O,\mu}(P)=R$ significa $\overrightarrow{OR}=\mu\overrightarrow{OP}$ e $h_{O,\lambda}(R)=Q$ significa $\overrightarrow{OQ}=\lambda\overrightarrow{OR}$ e infine $h_{O,\lambda\mu}(P)=S$ vuol dire che $\overrightarrow{OS}=\lambda\mu\overrightarrow{OP}$.
    Allora otteniamo: $\overrightarrow{SQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OS}=\lambda(\overrightarrow{OR}-\mu\overrightarrow{OP})=\mathbf{0}_{\mathbf{V}}$ che implica $S=Q$.
  • Dimostriamo che $id_{\mathcal{A}}\in\mathsf{H}_{O}$, affermiamo infatti che $id_{\mathcal{A}}=h_{O,1_{\mathbf{K}}}$: porre $h_{O,1_{\mathbf{K}}}(P)=Q$ vuol dire infatti $\overrightarrow{OQ}=1_{\mathbf{K}}\overrightarrow{OP}$ cioè $Q=P$.
  • Dimostriamo infine che l'inverso di una omotetia di centro $O$ è ancora un'omotetetia di centro $O$: affermiamo che $(h_{O,\lambda})^{-1}=h_{O,\lambda^{-1}}$ infatti porre $h_{O,\lambda}(P)=Q$ vuol dire $\overrightarrow{OQ}=\lambda\overrightarrow{OP}$, per cui potremo dire che $\overrightarrow{OP}=\lambda^{-1}\overrightarrow{OQ}$ cioè proprio $h_{O,\lambda^{-1}}(Q)=P$.
    Questo conclude la dimostrazione che l'insieme delle omotetetie di centro $O$ è sottogruppo di $\mathsf{Aff}_{\mathbf{K}}(\mathcal{A})_{O}$.

Riguardo alla seconda richiesta, le formule trovate: $h_{O,\lambda}\circ h_{O,\mu}=h_{O,\lambda\mu}$, $h_{O,1_{\mathbf{K}}}=id_{\mathcal{A}}$, $(h_{O,\lambda})^{-1}=h_{O,\lambda^{-1}}$ ci permettono di affermare immediatamente che l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} \mathbf{K}\setminus\{0\} &\longrightarrow & \mathsf{H}_{O} \\ \lambda &\mapsto &h_{O,\lambda} \end{array}\end{displaymath}

è un'isomorfismo di gruppi.

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