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25. DEFINIZIONE-PROPOSIZIONE
Sia
spazio affine su
.
Consideriamo l'isomorfismo
tra
e
(vedi def.-proposizione 24) e consideriamo l'affinità che fissa
.
Essa è detta omotetia di centro
e fattore
e verrà denotata con il simbolo
.
Per definizione si ha quindi
(infatti per definizione di affinità
e scegliendo
e ricordando che
è fissato da
e che la parte lineare di
è
otteniamo quanto detto).
Dimostriamo che
è un sottogruppo di
che l'applicazione
dà un isomorfismo tra il gruppo moltiplicativo di
e il gruppo delle omotetie di centro .
DIMOSTRAZIONE
- Dimostriamo che la composizione è operazione interna in
:
siano
poniamo
e
.
Affermiamo che
(e ciò ci permette di concludere, infatti
è ancora omotetia di centro
dato che
).
Infatti porre
significa
e
significa
e infine
vuol dire che
.
Allora otteniamo:
che implica .
- Dimostriamo che
, affermiamo infatti che
:
porre
vuol dire infatti
cioè .
- Dimostriamo infine che l'inverso di una omotetia di centro
è ancora un'omotetetia di centro :
affermiamo che
infatti porre
vuol dire
,
per cui potremo dire che
cioè proprio
.
Questo conclude la dimostrazione che l'insieme delle omotetetie di centro
è sottogruppo di
.
Riguardo alla seconda richiesta, le formule trovate:
,
,
ci permettono di affermare immediatamente che l'applicazione
è un'isomorfismo di gruppi.
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