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6. PROPOSIZIONE Sia
spazio affine su
e
sottospazio
affine:
con
e
sottospazio vettoriale; allora
ha una naturale struttura di spazio affine su
ottenuta associando
ad ogni coppia di punti 
di
il vettore
di
.
DIMOSTRAZIONE Sappiamo già che
;
dobbiamo
dimostrare che 
(ASS.1 in
):
poiché in particolare
e
possiamo dire che
avendo usato ASS.1 in
;
ma
per definizione 1 di sottospazio affine.
Infine dobbiamo dimostrare che
vale
(uguaglianza fra vettori di
)
(ASS.2 in
), ma poiché
l'uguaglianza scritta sopra vale in
e quindi certamente vale in
.
7. OSSERVAZIONE La dimensione di
come sottospazio affine di
o come spazio affine a sé stante ovviamente coincidono.
8. OSSERVAZIONE
Fissando un punto in
abbiamo una corrispondenza biunivoca tra i punti di
e i vettori della sua giacitura e questo è un risultato generale per gli spazi affini (vedi punto 3 di proposizione 7 della sezione "Spazi affini: definizione e proprietà"); in particolare, poiché
viene usualmente assegnato specificando anche un suo punto:
,
potremo dire che
e viceversa
.
Questo fatto verrà usato ripetutamente in seguito.
9. ESERCIZIO
Nell'esercizio che segue si determina una condizione necessaria e sufficiente affinché un sottospazio sia contenuto in un altro sottospazio.
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