DIMENSIONE DI UN SOTTOSPAZIO AFFINE; ESEMPI DI SOTTOSPAZI AFFINI

3. DEFINIZIONE Sia

sottospazio affine di

, spazio affine su

; ricordiamo che assumiamo

di dimensione finita per cui anche $\mathbf{U}$ ha dimensione finita.
Definiamo la dimensione di $\mathcal{S}$ ponendo $\mathsf{dim}\mathcal{S}:=\mathsf{dim}\mathbf{U}$ .

Si noti che la definizione è ben posta grazie al risultato di esercizio 2.2

Se $\mathsf{dim}\mathcal{S}=1$ $\mathcal{S}$ è detto "retta affine di $\mathcal{A}$ ".
Se $\mathsf{dim}\mathcal{S}=2$ $\mathcal{S}$ è detto "piano affine di $\mathcal{A}$ ".
Se $\mathsf{dim}\mathcal{S}=n-1$ $\mathcal{S}$ è detto "iperpiano affine di $\mathcal{A}$ " ove si è posto $\mathsf{dim}\mathcal{A}=n$ .

Se $\mathsf{dim}\mathcal{A}=n$ e $\mathsf{dim}\mathcal{S}=t$ il numero naturale

viene detto ''codimensione'' di $\mathcal{S}$ in $\mathcal{A}.$

4. ESEMPI
4.1 Se consideriamo lo spazio affine $\Pi$ , il piano ordinario, abbiamo che punti, rette e $\Pi$ stesso sono i sottospazi affini di $\Pi$ .

Identicamente se consideriamo lo spazio affine $\Upsilon$ , lo spazio ordinario, abbiamo che punti, rette, piani e $\Upsilon$ stesso sono i sottospazi affini di $\Upsilon$ .

4.2 Sia $\mathbf{V}$ un $\mathbf{K}$ -spazio vettoriale; consideriamone la struttura affine (vedi esempio 5 della sezione "Spazi affini: definizione e proprietà"), cioè lo spazio affine $\mathbf{V}_\mathsf{a}$ ; siano $\mathbf{W}\subseteq\mathbf{V}$ un sottospazio vettoriale e $\mathbf{q}\in\mathbf{V}_\mathsf{a}$ un punto.

Consideriamo il sottospazio affine di $\mathbf{V}_\mathsf{a}$ passante per $\mathbf{q}$ e con giacitura $\mathbf{W}$ ;
per definizione si ha che $\mathsf{S}(\mathbf{q},\mathbf{W})=\{\mathbf{p}\in \mathbf{V}_\mathsf{a}\;:\;\;\mathbf{q}-\mathbf{p}\in\mathbf{W} \}$ insieme che possiamo riscrivere come $\{\mathbf{q}+\mathbf{w}\;,\;\mathbf{w}\in\mathbf{W}\} =:\mathbf{q}+\mathbf{W}$ , infatti $\mathbf{q}+\mathbf{W}$ consiste proprio di tutti e soli i punti $\mathbf{p}\in\mathbf{V}_\mathsf{a}$ tali che $\mathbf{q}-\mathbf{p}\in\mathbf{W}$ .

In particolare, se $\mathbf{q}\in\mathbf{W}$ avremo che $\mathbf{q}+\mathbf{W}=\mathbf{W}$ e dunque vediamo che i sottospazi vettoriali di $\mathbf{V}$ sono anche sottospazi affini di $\mathbf{V}_\mathsf{a}$ (e saranno tutti e soli i sottospazi passanti per il punto $\mathbf{0}_{\mathbf{V}}$ ).
Ricapitolando ogni sottospazio si può dunque sempre scrivere nella forma $\mathbf{q}+\mathbf{W}$ per un qualche punto $\mathbf{q}\in\mathbf{V}_\mathsf{a}$ e $\mathbf{W}\subseteq\mathbf{V}$ sottospazio vettoriale; esso è dunque il "traslato" di un sottospazio vettoriale.

5. ESERCIZIO Negli esercizi si determinano i sottospazi di dimensione minima e massima di uno spazio affine.

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