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Vogliamo ora motivare la definizione di sottospazio affine che andremo a dare: consideriamo lo spazio ordinario $\Upsilon$; sappiamo che, scegliendo un punto $O\in \Upsilon$, possiamo costruire lo spazio vettoriale $\mathcal{V}_O$ dei vettori applicati in $O$; consideriamo i sottospazi vettoriali di $\mathcal{V}_O$: abbiamo $\mathcal{V}_O$ stesso e $<\mathbf{0}>$; se identifichiamo un vettore applicato $(O,P)$ con il punto $P$ -avendo ben chiaro in mente che è stato fissato un punto $O$-   potremo considerare i sottospazi precedenti come sottoinsiemi di $\Upsilon$, precisamente essi corrispondono rispettivamente a tutto $\Upsilon$ e $O$.

Analogamente è noto che i sottospazi vettoriali di dimensione 1 e 2 di $\mathcal{V}_O$ corrispondono rispettivamente alle rette e piani (nel senso della geometria elementare) di $\Upsilon$ passanti per il punto $O$.
Chiaramente in questo modo non consideriamo tutti gli "oggetti" interessanti di $\Upsilon$: non tutte le rette e piani (nel senso della geometria elementare) passano per $O$.
Per risolvere il problema si può pensare di agire in due modi (in realtà del tutto equivalenti tra loro).
Potremmo osservare che ogni retta (risp. piano) è il traslato di un'unica retta (risp. piano) passante per l'origine.

Potremmo osservare che, data una retta (risp. piano) di $\Upsilon$, essa potrà essere considerata sottospazio vettoriale di un qualsiasi spazio $\mathcal{V}_P$ dei vettori applicati in un suo qualche punto $P$.

Abbiamo cioè bisogno di considerare "simultaneamente" i diversi spazi di vettori applicati e potremo far ciò considerando lo spazio $\mathcal{V}$.

Geometricamente i sottospazi vettoriali di $\mathcal{V}$ di dimensione 1 (risp. 2) corrispondono a famiglie massimali di rette (risp. piani) di $\Upsilon$ parallele fra di loro, cioè a fasci di rette (risp. piani) parallele.
Ogni retta (risp. piano) di $\Upsilon$ nel senso della geometria elementare sta in una e una sola di tali famiglie, per cui sarà individuata specificando la famiglia di appartenenza (cioè il sottospazio di $\mathcal{V}$) e un qualsiasi punto per cui essa passa.

Questo fatto geometrico ispira la definizione formale che ci permetterà di dire che cosa intendiamo per rette e piani e, piú in generale, per sottospazi affini di uno spazio affine astratto.

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