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12. DEFINIZIONE-PROPOSIZIONE Sia spazio affine e sia insieme non vuoto; l'intersezione di tutti i sottospazi affini di $\mathcal{A}$ contenenti è un sottospazio affine di detto sottospazio affine generato da $\mathrm{X}$ e denotato con $\mathsf{aff(\mathrm{X})}$; esso è il piú piccolo sottospazio affine di $\mathcal{A}$ contenente $\mathrm{X}$.

DIMOSTRAZIONE $\mathcal{A}$ è certamente un sottospazio affine di $\mathcal{A}$ contenente $\mathrm{X}$ per cui la famiglia dei sottospazi affini contenenti $\mathrm{X}$ è non vuota, dunque in virtú dell'esercizio 11 possiamo affermare che $\mathsf{aff(\mathrm{X})}$ è un sottospazio affine di $\mathcal{A}$; esso certamente contiene $\mathrm{X}$ ed è il piú piccolo sottospazio che fa questo.

Notazione e terminologia: se $\mathcal{A}$ spazio affine e $ \mathcal{S}, \mathcal{T}$ sono sottospazi affini di $\mathcal{A}$ denoteremo con il simbolo $\mathcal{S} \vee \mathcal{T}$ il sottospazio affine ; esso è chiamato somma affine di $\mathcal{S}$ e $\mathcal{T}$.
In generale se è una famiglia di sottospazi affini di denoteremo con il simbolo il sottospazio affine .

Esempi intuitivi: se abbiamo due rette $l,r$ nel piano ordinario allora si ha

  • se $l=r$ allora $l \vee r = l=r$
  • se $l \neq r$ allora $l \vee r =\Pi$
Nello spazio ordinario lo stesso accade con due piani, invece se abbiamo due rette $l,r$ occorrerà distinguere il caso in cui esse siano complanari -e in tal caso, se $\pi$ è il piano che le contiene, si ha
  • se $l=r$ allora $l \vee r = l=r$
  • se $l \neq r$ allora $l \vee r =\pi$
dal caso in cui non lo siano (rette sghembe) in cui si ha
  •    $l \vee r = \Upsilon$

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