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12. DEFINIZIONE-PROPOSIZIONE Sia
spazio affine e sia
insieme non vuoto; l'intersezione di tutti i sottospazi affini di
contenenti
è un sottospazio affine di
detto sottospazio affine generato da
e denotato con
; esso è il piú piccolo sottospazio affine di
contenente
.
DIMOSTRAZIONE
è certamente un sottospazio affine di
contenente
per cui la famiglia dei sottospazi affini contenenti
è non vuota, dunque in virtú dell'esercizio 11 possiamo affermare che
è un sottospazio affine di
;
esso certamente contiene
ed è il piú piccolo sottospazio che fa questo.
Notazione e terminologia: se
Esempi intuitivi: se abbiamo due rette
spazio affine e
sono sottospazi affini di
denoteremo con il simbolo
il sottospazio affine
;
esso è chiamato
somma affine di
e
.
In generale se
è una famiglia di sottospazi affini di
denoteremo con il simbolo
il sottospazio affine
.
nel piano ordinario allora si ha
Nello spazio ordinario lo stesso accade con due piani, invece se abbiamo due rette 
allora
allora
occorrerà distinguere il caso in cui esse siano complanari -e in tal caso, se 
è il piano che le contiene, si ha
dal caso in cui non lo siano (rette sghembe) in cui si ha
allora
allora
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