I polinomi razionali sono quelli i
cui coefficienti sono numeri razionali.
DEFINIZIONE 43:
Il polinomio f(x) = a0
+ a1x +…+ an xn, dove a0,
a1,…,an sono interi, è primitivo se
il massimo comun divisore di a0,
a1,…, an è 1.
Ad esempio, un polinomio intero monico è primitivo.
- Ogni
polinomio razionale non nullo è associato
in Q[x] ad un polinomio primitivo.
- Se f(x) e g(x) sono due
polinomi primitivi, allora anche il loro prodotto f(x)g(x)
è primitivo.
Sia f(x)
è un polinomio primitivo e g(x) un polinomio razionale tale che f(x)g(x)
è intero. Allora g(x) è intero.
Corollario 8:
Se un polinomio monico razionale
f(x) divide un polinomio monico intero allora f(x) è
intero.
Un polinomio intero di grado
positivo è riducibile in Q[x] se e solo se è il prodotto di due
polinomi interi di grado positivo.
Un polinomio intero monico di
grado positivo è riducibile in Q[x] se e solo se è il prodotto di
due polinomi interi monici di grado positivo.
Il problema di decidere se un polinomio sia o meno irriducibile può essere difficile e faticoso.
Per questo daremo ora un criterio molto utile per stabilire se un dato polinomio è irriducibile.
TEOREMA 10
(criterio di Eisenstein):
Sia f(x) = a0 + a1x
+…+ am xm un polinomio a coefficienti interi di grado
positivo e supponiamo che
esista un primo p che non divida am, che divida a0, a1, …,
am e tale che p2
non divida a0.
Allora f(x) è irriducibile sui razionali.
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