I polinomi razionali sono quelli i cui coefficienti sono numeri razionali

 

I polinomi razionali sono quelli i cui coefficienti sono numeri razionali.

 

 

DEFINIZIONE 43:

 

Il polinomio f(x) = a0 + a1x ++ an xn, dove a0, a1,,an sono interi, primitivo se il massimo comun divisore di a0, a1,, an 1.

 


 

 

Ad esempio, un polinomio intero monico primitivo.

 

 

Proposizione 37:

 

  1. Ogni polinomio razionale non nullo associato in Q[x] ad un polinomio primitivo.

 

  1. Se f(x) e g(x) sono due polinomi primitivi, allora anche il loro prodotto f(x)g(x) primitivo.

dimostrazione

 

 

TEOREMA 9:

 

Sia f(x) un polinomio primitivo e g(x) un polinomio razionale tale che f(x)g(x) intero. Allora g(x) intero.

dimostrazione

 

 

Corollario 8:

 

Se un polinomio monico razionale f(x) divide un polinomio monico intero allora f(x) intero.

dimostrazione

 

 

Lemma di Gauss:

 

Un polinomio intero di grado positivo riducibile in Q[x] se e solo se il prodotto di due polinomi interi di grado positivo.

 

Un polinomio intero monico di grado positivo riducibile in Q[x] se e solo se il prodotto di due polinomi interi monici di grado positivo.

dimostrazione

 

 

Il problema di decidere se un polinomio sia o meno irriducibile pu essere difficile e faticoso.

Per questo daremo ora un criterio molto utile per stabilire se un dato polinomio irriducibile.

 

 

TEOREMA 10 (criterio di Eisenstein):

 

Sia f(x) = a0 + a1x ++ am xm un polinomio a coefficienti interi di grado positivo e supponiamo che

esista un primo p che non divida am, che divida a0, a1, , am e tale che p2 non divida a0.

Allora f(x) irriducibile sui razionali.


dimostrazione

 

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