Dimostrazione

Ovviamente se un polinomio è il prodotto di due polinomi interi di grado positivo allora non è irriducibile.

Supponiamo che il polinomio intero f(x) non sia irriducibile come polinomio razionale e sia g(x) un polinomio tale che:

Possiamo assumere che g(x) sia primitivo per la proposizione 37.

Allora f(x) = g(x)h(x), con h(x)razionale e per il teorema 9 il polinomio h(x) è pure intero.

Se f(x) è monico abbiamo ab = 1, dove a e b i coefficienti direttori di g(x) e di h(x) rispettivamente.

Quindi a = b = 1 oppure a = b = -1.

Nel primo caso g(x) e h(x) sono monici, nel secondo -g(x) e -h(x) lo sono ed f(x) = (-g(x))(-h(x)). (c.v.d.)