Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che f(x) non sia irriducibile.

Per il lemma di Gauss esistono g(x) ed h(x) in Z[x] di grado positivo tale che f(x) = g(x)h(x).

Avremo allora a₀ = b₀c₀, e quindi p dividerà b₀ o c₀, ma non entrambi poiché a₀ non è divisibile per p².

Affermiamo, per esempio, che p divide b₀ ma non c₀.

Facciamo vedere per induzione su k che p divide b_k per ogni k < m.

Se assumiamo che p divide b_i per ogni i < k, si avrà:

a_k = b_k c₀ + b_{k –1} c₀ + ... + b₀ c_k

e quindi p divide b_k c₀, poiché p divide a_k .

Siccome p non divide c₀ concludiamo che p divide b_k come volevamo.

Ma questa è una contraddizione: dal momento che il grado di g(x) è minore di m vediamo che il

coefficiente direttore di g(x) è divisibile per p e quindi anche il coefficiente direttore di f(x) dovrebbe

essere divisibile per p, il che è falso. (c.v.d.)