Dimostrazione

1. Sia f(x) un polinomio razionale non nullo di grado m e siano a₀, a₁,…,a_m i suoi coefficienti.

Moltiplicando per il minimo comune multiplo dei denominatori di a₀, a₁,…, a_m potremo supporre

che f(x) sia un polinomio intero.

Se chiamiamo d il massimo comun divisore di a₀, a₁,…,a_m abbiamo che a₀/d, a₁/d,…, a_m/d sono

relativamente primi; infatti se un intero positivo e divide a₀/d, a₁/d,…, a_m/d abbiamo che de divide a₀, a₁,…, a_m

Questo implica che e = 1 e quindi in polinomio f(x)/d, che è associato a f(x), è primitivo.

2. Siano f(x) e g(x) due polinomi primitivi e supponiamo che il loro prodotto f(x)g(x) non sia primitivo.

Esisterà perciò un primo p che divide tutti i coefficienti di f(x)g(x).

Sia m il più grande numero naturale tale che p non divide a_m e n il più grande numero naturale

tale che p non divide b_n. Consideriamo:

Se i + j = m + n e i > m allora a_i è divisibile per p e quindi p/a_ib_j,

mentre se i < m allora j > n e b_j è divisibile per p, quindi di nuovo p/a_ib_j.

Allora (fg)_{m + n} è la somma di a_mb_n che non è divisibile per p e di altri termini che invece lo sono.

Ne segue che (fg)_{m + n} non è divisibile per p che è una contraddizione. (c.v.d.)