Dimostrazione
Sia h(x) un
polinomio primitivo associato ad f(x) e sia g(x) un
polinomio monico intero tale che f(x)/g(x).
Allora h(x) divide g(x)
ed esiste un polinomio razionale q(x) tale che h(x)q(x)
= g(x).
Per il teorema 9, q(x)
è intero e in particolare avrà il coefficiente direttore intero.
Siccome il coefficiente direttore
di g(x), che è 1, è il prodotto del coefficiente direttore di h(x)
e di quello di q(x),
il coefficiente direttore di h(x)
deve essere +1 oppure -1. Ne segue che h(x) oppure –h(x)
è monico:
per la proposizione 30 dovremo
avere f(x) = h(x) oppure f(x) = –h(x).
In ogni caso f(x) è intero. (c.v.d.)
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