Dimostrazione

Possiamo ovviamente assumere che g(x) sia non nullo.

Sia h(x) un polinomio primitivo associato a g(x), che esiste per il punto 1 della proposizione 37,

e poniamo g(x) = (r/s)h(x), ossia sg(x) = rh(x), con r e s interi relativamente primi e s > 0. Allora

sf(x)g(x) = rf(x)h(x).

Dal momento che f(x)g(x) è intero abbiamo che s divide tutti i coefficienti di rf(x)h(x), e siccome s

è relativamente primo ad r, s dividerà tutti i coefficienti di f(x)h(x).

Ma f(x)h(x) è primitivo (vedi il punto 2 della proposizione 37) e quindi s = 1.

Ne segue che g(x) = rh(x) è un polinomio intero. (c.v.d.)