A questo punto non ci resta che studiare l’anello degli interi di Gauss Z[i]. Dimostreremo che si tratta di un anello euclideo e ne studieremo la relazione di divisibilità.

Come abbiamo già detto Z[i] è costituito dai numeri complessi della forma a + ib, con a e b interi.

Rispetto alle usuali operazioni di addizione e moltiplicazione i numeri complessi di Z[i] formano un dominio di integrità, come afferma la proposizione 21, e detto appunto dominio degli interi di Gauss.

Dimostriamo il seguente:

TEOREMA 3:

Z[i] è un dominio euclideo.

Abbiamo già detto quali sono gli elementi invertibili di Z[i] e cioè: +1, -1, + i, - i. Perciò un elemento non nullo x di Z[i] è associato a quattro interi gaussiani che sono:

x, -x, ix, -ix.

OSSERVAZIONI:

• Se n è un intero allora un primo gaussiano x = a + ib, cioè un elemento irriducibile di Z[i], è divisibile per n in Z[i]
  se e solo se:

Cioè se e solo se n divide a e b in Z;

• Se un intero gaussiano x divide un altro intero gaussiano y allora N(x) divide N(y). Infatti se y = xz allora

N(y) = N(x)N(z).

Non vale però il viceversa. Infatti, ad esempio, gli interi gaussiani 2 + i e 2 – i hanno entrambi norma 5

N(2 + i) = (2 + i)(2 - i) = 2² + 1 = 5 = N(2 - i), ma si verifica subito che 2 + i non divide 2 – i e
allo stesso modo 2 – i non divide 2 + i.

A questo punto classifichiamo i primi gaussiani che come abbiamo già detto sono gli elementi irriducibili di Z[i].

Proposizione 23:

Un numero primo di Z è irriducibile in Z[i] se e solo se non è somma di due quadrati di interi.

Possiamo già dire, quindi, che 2, primo in Z, non è irriducibile in Z[i] poiché 2 = (1 + i)(1 - i) e né 1 + i né 1 – i è invertibile

in Z[i].

Infatti 2 lo possiamo scrivere come somma di due quadrati interi e cioè 2 = 1² + 1².