Dimostrazione

Bisogna innanzitutto definire una funzione d(x) per tutti gli elementi diversi da zero di Z[i] che soddisfi le seguenti condizioni:

3. dati x, y in Z[i], esistono t e r in Z[i] tali che y = tx + r, dove r = 0 oppure d(r) < d(u).

Consideriamo come funzione d(x) la funzione che ad un elemento x = a + ib

associa il numero intero d(x) = a² + b², cioè la norma N(x) introdotta nella definizione 29. Quindi:

d(x)= N(x).

Vediamo, infatti, che la proprietà 1 è soddisfatta in quanto N(x) = a² + b² > 0 se x non è l’elemento nullo.

Anche la proprietà 2 è soddisfatta, poiché per due numeri complessi x e y, che non necessariamente

appartengono a Z[i], si ha N(xy) =N(x)N(y) (come afferma la proposizione 20).

Resta da dimostrare la proprietà 3.

Dimostriamola prima di tutto in un caso particolare e cioè quando:

Sia y = a + ib. Per l’algoritmo della divisione nell’anello degli interi ordinari, possiamo trovare due interi u e v tali che:

a = un + u₁, b = vn + v₁

dove u₁, v₁ sono interi che soddisfano la condizione:

Sia t = u + vi e r = u₁ + v₁i.

Abbiamo così che y = a + ib = un + u₁ + (vn + v₁)i = (u + vi)n + u₁ + v₁i = tn + r.

abbiamo, in questo caso particolare, che y = tn + r, con r = 0 o N(r) < N(n).

In generale consideriamo x non nullo e y in Z[i]. N(x) è cosi un intero positivo n.

Per quanto ottenuto nella dimostrazione del caso particolare applicata n e abbiamo che:

Sostituendo n con N(x) si ottiene:

possiamo semplificare l’uguaglianza e scrivere N(y - tx) < N(x).

A questo punto scriviamo y = tx + r₀, dove r₀ = y – tx: t ed r sono quindi elementi di Z[i] e

come visto prima r₀ = 0 oppure N(r₀) = N(y – tx) < N(x). (c.v.d.)