Vediamo ora quando il nostro anello A, al quale abbiamo aggiunto la radice quadrata di un suo elemento, è un dominio di integrità, cioè quando:

Proposizione 21:

L’anello è un dominio di integrità se e solo se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1. A è un dominio;

2. Se x e y sono due elementi di A con x² – dy² = 0, allora x = y = 0.

OSSERVAZIONE:

Quando d = 0 la seconda condizione in Prop. 21 non è mai verificata in quanto si può prendere x = 0 e y = 1. Allora:

Analizziamo ora il caso A = Z.

Osserviamo che se esistono due interi x e y, non entrambi nulli tali che x² – dy² = 0, allora y deve essere non nullo e d = (x/y)² e quindi d è il quadrato di un numero razionale.

Lemma 5:

Se un intero è la potenza n-esima di un numero razionale allora è la potenza n-esima di un intero.

Corollario 1:

Se d è un intero che non è un quadrato perfetto, allora Z[d] è un dominio.

Vogliamo caratterizzare adesso le unità del nostro nuovo anello.

Proposizione 22:

Inoltre, in questo caso