Dimostrazione

Osserviamo prima di tutto che la condizione 2 equivale a dire che:

In seconda analisi notare che: se x è un elemento nullo allora anche il suo coniugato lo è, cioè:

Segue che anche A lo è essendo A un suo sottoanello. Inoltre se:

Ma in entrambi i casi x = 0.

(): Siano soddisfatte le condizioni 1 e 2 .non può essere l’anello nullo poiché contiene A.

Considerando la norma e la proposizione 20 abbiamo che:

N(x)N(y) = N(xy) = 0, perciò o N(x) = 0 oppure N(y) = 0 visto che A è un dominio di integrità.

Allora dalla condizione 2 segue che x = 0 oppure y = 0. (c.v.d.)