Dimostrazione

Sia p un primo di Z.

(): supponiamo che p = a² + b², con a e b interi. In questo caso p = (a + ib)(a - ib).

quindi né a + ib né a – ib sono invertibili. Perciò p non è irriducibile in Z[i].

(): supponiamo che p non sia irriducibile in Z[i] e quindi p = xy, con x e y elementi di Z di norma maggiore di 1.

Prendendo le norme otteniamo che p² = N(p) = N(x)N(y) per cui si avrà necessariamente che N(x) = N(y) = p.

Se poniamo x = a + ib allora p = N(x) = a² + b². (c.v.d.)