Per un primo p di Z esistono tre possibilità:
- p
è pari e allora p = 2;
TEOREMA 4:
Un primo p di Z è
irriducibile in Z[i] se e solo se:
Corollario 2:
Un primo p è somma dei quadrati di due interi se e solo se:
p = 2
oppure se
L’affermazione del corollario 2 segue dal fatto che un quadrato è congruo a 0 oppure a 1 modulo 4.
La difficoltà è nel mostrare che se p è congruo a 1 modulo 4 allora p è somma di due quadrati.
Prendiamo a questo scopo un primo p che è somma di due quadrati, p = a2 + b2, con a e b interi.
Ovviamente né a né b possono essere 0, perché un primo non è mai un quadrato;
se necessario, possiamo cambiare il segno di a e b in modo da renderli positivi.
Se a = b allora p è pari e l’unica possibilità è che p sia uguale a 2;
l’unica maniera per scrivere p come somma di due quadrati di interi positivi è 2 = 12 + 12 .
Scambiando a e b se necessario possiamo supporre a > b.
Abbiamo finora dimostrato la seguente:
Proposizione 24:
Allora esiste un’unica coppia di interi positivi a e b
con a > b tali che p = a2 + b2.
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