Dimostrazione

Supponiamo che:

e vediamo che p non può essere la somma di due quadrati, così da poter concludere,

grazie alla proposizione 23, che p è irriducibile in Z[i].

Se a è un intero, allora il resto modulo 4 deve essere: 0, 1, 2, -1 (= 3).

Dal momento che:

e quindi una somma di quadrati deve essere congruente a 0, 1 oppure 2 modulo 4,

mentre non potrà mai essere congruente a –1 modulo 4.

Se p = 2 abbiamo osservato sopra che p non è irriducibile.

Ci resta solo da far vedere che se p è congruo a 1 modulo 4 allora p non è irriducibile.

A questo punto sappiamo che esiste un intero n con p che divide n² + 1.

(Si dimostra che se p è un primo dispari

ed è lo stesso che dire che,in Z _p, [n²] = -1).

Si ha che n² + 1 = (n + i)(n - i) e d’altra parte p non può dividere né (n + i) né (n – i) in quanto sappiamo che,

affinché questo avvenga, p dovrebbe dividere sia parte reale che parte immaginaria di n + i e di n – i

e p non può dividere né 1 né –1.

Arrivati a questo punto la proposizione 14 (punto 2) mostra che p non può essere irriducibile in Z[i]. (c.v.d.)