ESEMPI:

Prendiamo un primo di Z che non è irriducibile in Z[i] e cerchiamo di scomporlo in fattori primi.

2. Consideriamo il primo 2. Abbiamo già visto che 2 non è irriducibile in Z[i]. Possiamo scrivere 2 = (-i)(1 + i)².

N(1 + i) = 2 e quindi 1 + i è irriducibile. Quindi 2 è associato al quadrato dell’elemento irriducibile 1 + i.

3. Consideriamo un primo p di Z con p congruo a 1 modulo 4.

p non è irriducibile poiché somma di due quadrati di interi positivi.

Prendiamo in considerazione gli interi positivi a e b con a > b tali che p = a² + b². Poniamo x = a + ib.

Dal momento che:

avremo che sia x che il suo coniugato sono irriducibili e

è una scomposizione in fattori primi.

quindi x deve essere associato a x oppure al suo coniugato.