Dimostrazione

Esistenza: già mostrata sopra.

Unicità: useremo per questo i seguenti lemmi:

Lemma 6:

Sia x un elemento di Z[i] tale che N(x) è primo. Allora x è irriducibile in Z[i].

Lemma 7:

Siano a e b due interi positivi.

Se c e d sono interi positivi tali che (a + ib) è associato a (c + id) in Z[i], allora a = c e b = d.

Concludiamo a questo punto la dimostrazione della proposizione.

Supponiamo che p = a² + b² = c² + d², con a > b > 0 e c > d > 0.

Allora p = (a + ib)( a - ib) = (c + id)( c - id) e per il lemma 6 (a + ib) è irriducibile.

Perciò (a + ib) dividerà (c + id) o (c – id), e quindi dovrà essere associato a (c + id) oppure a (c - id),

poiché sia (c + id) che (c - id) sono irriducibili.

Supponiamo che (a + ib) sia associato a (c - id).

In questo caso (a + ib) è associato anche a i(c - id) = d + ic e quindi per il lemma 7 si avrà a = d e b = c.

Questo però è impossibile perché a > b mentre c > d.

Quindi (a + ib) è associato a (c + id) e ancora per il lemma 7 a = c e b = d. (c.v.d.)