Isomorfismo con il gruppo Zn

NOTA
Si ricorda che Zn è l'insieme quoziente ottenuto da Z tramite la relazione di equivalenza: a rel b se n | (a-b), ed è un gruppo rispetto l'addizione.
Di conseguenza Zn = {[0] ,[1] , [2] , ... , [n-1]}.

Proposizione
Per ogni n ≥ 1 esiste un'isomorfismo di gruppi fra Zn e Cn.

Dim
Consideriamo ρ2π/n elemento generatore di Cn, i = 0 , 1 , ... , n - 1, e costruiamo la seguente applicazione:

ƒ : Cn → Zn
(ρ2π/n)ⁱ → [ i ]

ƒ è un isomorfismo di gruppi infatti

ƒ ( ρ2π/nⁿ o ρ2π/n^m) = ƒ ( ρ2π/n^{n + m}) = [n + m] = [n] + [m]= ƒ ( ρ2π/nⁿ ) + ( ρ2π/n^m)

In termini più semplici questa proposizione mi dice che posso identificare Zn con Cn in quanto hanno lo stesso ordine, ed intercorrono le stesse relazioni fra i generatori e gli elementi dei relativi gruppi.
Quest'ultima caratteristica deve essere sempre tenuta in considerazione quando si confrontano due gruppi, infatti vedremo in seguito come C4 e D2 non sono isomorfi, pur avendo lo stesso ordine, proprio per il motivo detto.