EQUAZIONI DI UN'APPLICAZIONE AFFINE

12. PROPOSIZIONE EQUAZIONI DI UN'APPLICAZIONE AFFINE
Siano $\mathbf{V},\mathbf{V}'$ $\;\;$ $\mathbf{K}$ -spazi vettoriali e $\mathcal{A},\mathcal{A}'$ spazi affini rispettivamente su $\mathbf{V}$ e $\mathbf{V}'$ di dimensione rispettivamente e e sia $f:\; \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}'$ applicazione affine.

Siano $\mathcal{R}=O\mathcal{B}$ e $\mathcal{R}'=O'\mathcal{B}'$ riferimenti affini rispettivamente per $\mathcal{A}$ e $\mathcal{A}'$ e poniamo $\varphi:=\Phi(f):\; \mathbf{V}\longrightarrow\mathbf{V}'$ la parte lineare di .
Consideriamo il punto $f(O)\in\mathcal{A}'$ -e poniamo $f(O)=(c_1,\ldots,c_m)_{\mathcal{R}'}$ - e la matrice associata a $\varphi$ rispetto alle basi $\mathcal{B}$ e $\mathcal{B}'$ $\mathsf{A}=(a_{ij}):=\mathrm{M}_{\mathcal{B}'\mathcal{B}}(\varphi)\in\mathrm{M}_{m,n}(\mathbf{K})$ .

Affermiamo che, se $P \in \mathcal{A}$ e $P=(x_1,\ldots,x_n)_{\mathcal{R}}$ e poniamo e $Q=(y_1,\ldots,y_m)_{\mathcal{R}'}$ , allora vale

$\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{cc} \!\!y_1=a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n+c... ...)\\ y_m=a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n+c_m &\; \end{array}\right. \end{displaymath}$

o piú sinteticamente $\mathbf{y}=\mathsf{A}\mathbf{x}+\mathbf{c}$ ove $\mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_m)^{\mathsf{t}}$ , $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)^{\mathsf{t}}$ e $\mathbf{c}=(c_1,\ldots,c_m)^{\mathsf{t}}$ .
Le equazioni $(\ast)$ sono dette equazioni dell'applicazione

rispetto ai riferimenti $\mathcal{R}$ e $\mathcal{R}'$ .

DIMOSTRAZIONE Poiché

è applicazione affine si ha $\varphi(\overrightarrow{OP})=\overrightarrow{f(O)f(P)}=\overrightarrow{f(O)Q}$ ;
noi dobbiamo ricercare le coordinate di

rispetto a $\mathcal{R}'$ cioè le coordinate del vettore $\overrightarrow{O'Q}$ rispetto a $\mathcal{B}'$ e ora si ha che $\overrightarrow{O'Q}=\overrightarrow{O'f(O)}+\overrightarrow{f(O)Q}=\overrighta... ...Q}+\overrightarrow{O'f(O)}=\varphi(\overrightarrow{OP})+\overrightarrow{O'f(O)}$ ; per definizione di coordinate affini vale $\overrightarrow{OP}=(x_1,\ldots,x_n)_{\mathcal{B}}$ e dall'algebra lineare sappiamo che le coordinate $z_1,\ldots,z_m$ di $\varphi(\overrightarrow{OP})$ rispetto alla base $\mathcal{B}'$ sono cosí ottenute:

$\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{c} z_1=a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n \\ \vdots \\ z_m=a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n \end{array}\right. \end{displaymath}$

o piú sinteticamente $\mathbf{y}=\mathsf{A}\mathbf{x}$ ;
ricordando che $f(O)=(c_1,\ldots,c_m)_{\mathcal{R}'}$ per definizione significa che le coordinate di $\overrightarrow{O'f(O)}$ rispetto a $\mathcal{B}'$ sono $c_1,\ldots,c_m$ otteniamo la nostra tesi.

13. ESERCIZI Gli esercizi proposti trattano casi numerici

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