PASSAGGIO DA EQU. CARTESIANE A PARAMETRICHE E VICEVERSA

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10. PROPOSIZIONE PASSAGGIO DA EQUAZIONI CARTESIANE A PARAMETRICHE E VICEVERSA
Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ , $\;$ $\mathsf{dim}\mathcal{A}=n$ e sia $\mathcal{R}=O\mathcal{B}$ un riferimento affine su $\mathcal{A}$ , sia inoltre sottospazio affine di dimensione .

Per passare da equazioni cartesiane (vedi proposizione 8) di $\mathcal{S}$ (rispetto a $\mathcal{R}$ )

$\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{c} a_{11}X_1+\cdots+a_{1n}X_n=b_1 \\ \vdots \;\;\; \\ a_{r1}X_1+\cdots+a_{rn}X_n=b_r \end{array} \end{displaymath}$

a equazioni parametriche (vedi proposizione 9) (rispetto a $\mathcal{R}$ ) è sufficiente risolvere il sistema lineare (che ha rango ) e scivere la soluzione generale che dipenderà da parametri liberi.
Siano date invece equazioni parametriche per $\mathcal{S}$

$\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{c} x_1=q_1+w_{11}t_1+\cdots +w_{1s}t_s\\ \vdots\\ x_n=q_n+w_{n1}t_1+\cdots +w_{ns}t_s \end{array}\end{displaymath}$

Sappiamo che

$\begin{displaymath}\mathsf{r} \left(\begin{array}{c} w_{11} \\ \vdots \\ w_... ...ght)=t\;\;\;\begin{array}{c} \;\\ (\ast)\\ \; \end{array}\end{displaymath}$

Possiamo supporre che i generatori di $\mathbf{U}$ , la giacitura di $\mathcal{S}$ , $\;$ $\mathbf{w_1},\ldots,\mathbf{w_s}$ siano linearmente indipendenti (cioè siano una base di $\mathbf{U}$ ) e che quindi le colonne delle matrice

$\begin{displaymath}\left(\begin{array}{c} w_{11}\\ \vdots\\ w_{n1} \end{ar... ...gin{array}{c} w_{1s}\\ \vdots\\ w_{ns} \end{array}\right)\end{displaymath}$

siano linearmente indipendenti e dunque .

Per ottenere equazioni cartesiane possiamo imporre che

$\begin{displaymath}\mathsf{r} \left(\begin{array}{c} x_1-q_1 \\ \vdots\\ x_n... ...ght)=s\begin{array}{c} \;\;\;\;\\ (2\ast)\\ \; \end{array}\end{displaymath}$

Possiamo quindi scegliere un minore $s\times s$ non nullo della matrice $(\ast)$ .
Si può quindi procedere a orlare tale minore all'interno della matrice $(2\ast)$ in tutti i modi possibili, che sono proprio , ottenendo le equazioni cartesiane cercate.

11. ESERCIZI Gli esercizi proposti trattano casi numerici

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