EQUAZIONI PARAMETRICHE

9. PROPOSIZIONE EQUAZIONI PARAMETRICHE
Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ , $\mathsf{dim}\mathcal{A}=n$ e $\mathcal{R}=O\mathcal{B}$ riferimento affine di $\mathcal{A}$ ; poniamo $\mathcal{B}=(\mathbf{v_1},\ldots,\mathbf{v_n})$ .

Siano $s\in\mathbf{N}$ e $\mathsf{B}=(b_{ij})\in\mathrm{M}_{n,s}(\mathbf{K})$ , $q_1,\ldots,q_s \in\mathbf{K}$ .
Allora l'insieme $\mathcal{S}=\{P\in\mathcal{A},\;P=(x_1,\ldots,x_n)_{\mathcal{R}}\;e\;\left\{\be... ...{n1}t_1+\cdots +b_{ns}t_s \end{array} \right.\;t_1,\ldots,t_s \in\mathbf{K} \}$

è un sottospazio affine di $\mathcal{A}$ ; precisamente vale $\mathcal{S}=\mathsf{S}(Q,\mathbf{U})$ ove $Q=(q_1,\ldots,q_n)_{\mathcal{R}}$ e $\mathbf{U}=<\mathbf{w_1},\ldots,\mathbf{w_s}>$ ove

$\begin{displaymath}\begin{array}{c}\mathbf{w_1}=(b_{11},\ldots,b_{n1})_{\mathcal... ...\ \mathbf{w_s}=(b_{1s},\ldots,b_{ns})_{\mathcal{B}}\end{array}\end{displaymath}$

e vale $\mathsf{dim}\mathcal{S}=\mathsf{r(B)}$ .
Viceversa sia $\mathcal{S}=\mathsf{S}(Q,\mathbf{U})$ sottospazio affine di $\mathcal{A}$ e $\mathbf{U}=<\mathbf{w_1},\ldots,\mathbf{w_s}>$ .
Sia

$\begin{displaymath}\begin{array}{c} \mathbf{w_1}=(w_{11},\ldots,w_{n1})_{\mathca... ...athbf{w_s}=(w_{1s},\ldots,w_{ns})_{\mathcal{B}}\\ \end{array} \end{displaymath}$

e sia $Q=(q_1,\ldots,q_n)_{\mathcal{R}}$ .
Allora se $P\in\mathcal{S}$ e poniamo $P=(x_1,\ldots,x_n)_{\mathcal{R}}$ esistono $t_1,\ldots,t_s \in \mathbf{K}$ tali che

$\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{c} x_1=q_1+w_{11}t_1+\cdots +w_{1s}t_s\\ \vdots\\ x_n=q_n+w_{n1}t_1+\cdots +w_{ns}t_s \end{array}\end{displaymath}$

Tali espressioni sono dette equazioni parametriche di $\mathcal{S}$ relative al riferimento .

DIMOSTRAZIONE

Dobbiamo dimostrare che l'insieme $\mathcal{S}$ è il sottospazio affine passante per

di giacitura il sottospazio vettoriale $<\mathbf{w_1},\ldots,\mathbf{w_s}>$ ; sia $P=(x_1,\ldots,x_n)_{\mathcal{R}}$ un punto di $\mathcal{A}$ ; si ha che $P\in\mathcal{S}\;\Leftrightarrow\;\exists\;t_1,\ldots,t_s\in\mathbf{K}$ tali che

$\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{c} x_1=q_1+b_{11}t_1+\cdots +b_{1s}t_s\\ \vdots\\ x_n=q_n+b_{n1}t_1+\cdots +b_{ns}t_s \end{array}\end{displaymath}$

$\;\Leftrightarrow\;\exists\;t_1,\ldots,t_s\in\mathbf{K}$ tali che

$\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{cc} x_1-q_1=b_{11}t_1+\cdots +b_{1s}t_s... ...\ x_n-q_n=b_{n1}t_1+\cdots +b_{ns}t_s & \;\;\;\; \end{array}\end{displaymath}$

$\;\Leftrightarrow\;\overrightarrow{QP}\in\mathbf{U}\;\Leftrightarrow\;P\in\mathcal{S}=\mathsf{S}(Q,\mathbf{U})$ .
Spieghiamo come le equazioni $(\ast)$ siano condizione necessaria e sufficiente affinché $\overrightarrow{QP}\in\mathbf{U}$ .
Da esercizio 2.2 sappiamo che vale $\overrightarrow{QP}=(x_1-q_1,\ldots,x_n-q_n)_{\mathcal{B}}$ e inoltre $\mathbf{U}=<\mathbf{w_1},\ldots,\mathbf{w_s}>$ per cui $\overrightarrow{QP}\in\mathbf{U}\;\Leftrightarrow\;\exists\;t_1,\ldots,t_s\in\mathbf{K}$ tali che $\overrightarrow{QP}=t_1\mathbf{w_1}+\cdots+t_s\mathbf{w_s}$ e ciò è equivalente alle equazioni $(\ast)$ : basta eguagliare le coordinate rispetto a $\mathcal{B}$ dei due membri dell'ultima eguaglianza.
L'affermazione $\mathsf{dim}\mathcal{S}=\mathsf{r(B)}$ segue dal fatto che $\mathsf{dim}\mathcal{S}:=\mathsf{dim}\mathbf{U}$ e dall'algebra lineare sappiamo che $\mathsf{dim}\mathbf{U}=\mathsf{dim}<\mathbf{w_1},\ldots,\mathbf{w_s}>$ eguaglia il rango della matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori $\mathbf{w_j}\;\;\;j=1,\ldots,s$ rispetto ad una qualche base di $\mathbf{V}$ .

Dall'algebra lineare sappiamo che esistono equazioni parametriche per $\mathbf{U}$ :
se $\mathbf{u}\in\mathbf{U}$ e poniamo $\mathbf{u}=(u_1,\ldots,u_n)_{\mathcal{B}}$ esistono $t_1,\ldots,t_s \in \mathbf{K}$ tali che

$\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{c} u_1=w_{11}t_1+\cdots +w_{1s}t_s\\ \vdots\\ u_n=w_{n1}t_1+\cdots +w_{ns}t_s \end{array}\end{displaymath}$

E ora sia $P=(x_1,\ldots,x_n)_{\mathcal{R}}$ un punto di $\mathcal{A}$ ; si ha che ha $P \in \mathcal{S}=\mathsf{S}(P,\mathbf{U})\;\Leftrightarrow\;\overrightarrow{QP}\in\mathbf{U}\;\Leftrightarrow\;$
$\;\Leftrightarrow\;\exists\;t_1,\ldots,t_s\in\mathbf{K}$ tali che

$\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{c} x_1-q_1=w_{11}t_1+\cdots +w_{1s}t_s ... ...\vdots \\ x_n-q_n=w_{n1}t_1+\cdots +w_{ns}t_s & \end{array}\end{displaymath}$

ove, ancora una volta, si è usato il fatto che $\overrightarrow{QP}=(x_1-q_1,\ldots,x_n-q_n)_{\mathcal{B}}$ .

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