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Come i poligoni regolari sono legati ai gruppi finiti di isometrie del piano così i poliedri regolari sono collegati ai gruppi finiti di simmetrie nello spazio. Più in particolare per ogni poliedro regolare esiste un gruppo di trasformazioni finito, le quali riportano il solido in se stesso e lasciano fisso il suo centro (centro della sfera in cui può essere inscritto).

I gruppi finiti di simmetrie dei poliedri regolari costituiscono il punto di partenza di molti campi di ricerca estremamente attivi nella matematica e nella fisica teorica moderna.
Si va dallo studio della classificazione di tutte le geometrie tridimensionali possibili, allo studio dei metodi di quantizzazione del campo gravitazionale tramite l'utilizzo di poliedri, generati incollando un numero enormemente grande di tetraedri.

Abbiamo visto che se P è un poliedro regolare, e O è il centro di P, si definisce il gruppo di simmetria di P, indicato con Γ(P), il gruppo di simmetrie f dello spazio per cui si ha: f (P) = P.

Si dimostra che una tale f lascia fisso il centro di P, cioè f (O) = O.

Le simmetrie di Γ(P) possono essere rotazioni, riflessioni o riflessioni rotatorie (si veda isometrie nello sazio), in quanto devono fissare almeno un punto, e, ovviamente, l'identità.

Per comodità porremo il centro di ogni poliedro regolare nell'origine del riferimento cartesiano, e di conseguenza le relative simmetrie saranno rotazioni R_l,θ di asse l passante per l'origine, riflessioni R_α con piano di simmetria α passante per l'origine, e riflessioni rotatorie R_l,θ,α con l e α retta e piano per l'origine.

DUALE DI UN POLIEDRO REGOLARE
In realtà descrivendo i gruppi di simmetria dei cinque poliedri regolari non si trovano cinque gruppi ma solamente tre per il seguente motivo:

Il duale di un poliedro regolare P è un altro poliedro regolare P' tale che sia possibile inscrivere P' in P in modo che per ogni faccia F di P esista un vertice di P' situato nel centro di F, e viceversa per ogni vertice V di P'esista una faccia di P che abbia come centro V. Si vede facilmente che se P' è il duale di P, allora P è il duale di P', e che il numero dei vertici, degli spigoli e delle facce di P' deve essere rispettivamente pari al numero delle facce, degli spigoli e dei vertici di P.
Per una descrizione più generale di poliedro duale, si veda quì.

Guardando la descrizione dei solidi platonici è facile trovare il duale di ognuno di essi: