Ricordiamo che (X, t) denota uno spazio topologico.

Definizioni 5.1 Sia S un sottoinsieme di X. Un punto x Î X si dice:
  interno ad S se $ U intorno di x tale che U Í S;
  esterno ad S se x è interno ad X \ S;
  di frontiera per S se x non è né interno né esterno ad S.

Definiamo gli insiemi:
interno di S: Int (S) = {x Î X | x è interno ad S};
esterno di S: Est (S) = {x Î X | x è esterno ad S};
frontiera di S: Fr (S) = {x Î X | x è di frontiera per S}.

Osservazioni 5.2

  x Î X è esterno ad S Û $ un intorno U di x tale che U Ç S = Æ;
  x Î X è di frontiera per S Û " intorno U di x, U Ç S ¹ Æ e U Ç (X \ S) ¹ Æ;
  un punto x Î Fr (S) può appartenere ad S oppure no;
  si ha Est (X \ S) = Int (S) da cui Fr (X \ S) = Fr(S); infatti si ha la seguente situazione:
    X = Int (S) È Est (S) È Fr (S) l’unione è disgiunta.

                                                                                       Dimostrazione

In (R², e), Int(S) è unione di tutti gli aperti contenuti in S.

Proposizione 5.4 Sia S Í X; sono equivalenti:

1. S è aperto;
2. S = Int (S);
3. S Ç Fr (S) = Æ .

Dimostrazione

Proposizione 5.5 Siano S e T sottoinsiemi di X:

1. se S Í T allora Int (S) Í Int (T);
2. Int (S Ç T) = Int (S) Ç Int (T);
3. Int (S) È Int (T) Í Int (S È T);
4. Int (Int (S)) = Int (S).

Dimostrazione

Int(S) Í Int(T)	Int(S Ç T)	Int(S È T)

Proposizione 5.6 Dato un sottoinsieme S delle spazio topologico X, si ha Fr (S) = Æ se e solo se S è sia aperto che chiuso.

Dimostrazione

Esempi

Esercizi