Definizione 4.1 Sia (X,t) uno spazio topologico, una base per la topologia t è una famiglia B di aperti di X tale che ogni aperto di X si può scrivere come unione di elementi di B.

Esempio

Osservazione 4.2 Ogni spazio topologico X ammette banalmente come base di aperti la famiglia t di tutti i suoi aperti.

Proposizione 4.3 Sia X un insieme non vuoto e sia BÍP(X) tale che:

1. ÆÎ B
2. X =
3. "A, A’Î B, AÇ A’ è unione di elementi di B;

Dimostrazione

Osservazione 4.4 Quindi un modo per dare una struttura topologica ad un insieme X può essere quello di assegnare una base di aperti.

Definizione 4.5 Sia X un insieme non vuoto e siano B₁ e B₂ basi per topologie su X;  B₁ e B₂ sono dette equivalenti se inducono la stessa topologia.

Proposizione 4.6 Le basi B₁ e B₂ sono equivalenti se e solo se:

1. "x Î X, "A₁ Î B₁ con x Î A₁, $ A₂ Î B₂ tale che x Î A₂ Í A₁
2. "x Î X, "A₂ Î B₂ con x Î A₂, $ A₁ Î B₁ tale che x Î A₁ Í A₂.

Dimostrazione

1. Sia B una base per t, " x Î X , la famiglia B (x) = {B ÎB | x Î B} è un sistema fondamentale di intorni aperti di x;
2. se " x Î X è assegnata una base di intorni aperti B (x), allora
   B:=
   è una base di aperti.

Dimostrazione

Definizione 4.8 Si dice che uno spazio topologico X soddisfa il secondo assioma di numerabilità se X possiede una base di aperti al più numerabile.

Esempio

Proposizione 4.9 Uno spazio topologico che soddisfa il secondo assioma di numerabilità, soddisfa il primo.

Dimostrazione

Esempi

Esercizi