Definizione 3.1 Sia (X, t) uno spazio topologico. Un intorno di un punto x Î X è un sottoinsieme U di X tale che esista un aperto A di X che verifichi: xÎAÍU.

Esempio

Proposizione 3.2 A è aperto Û A è intorno di ogni suo punto.

Dimostrazione

Definizione 3.3 La famiglia di tutti gli intorni di un punto x si denota con N(x) ed è detta sistema degli intorni di x.

Una base o sistema fondamentale di intorni di x è una famiglia B(x) di intorni di x tale che " U intorno di x, $ V Î B(x) tale che V Í U.

Osservazione 3.4 Come abbiamo visto per i chiusi, per ottenere una struttura topologica per X, basta assegnare una base di intorni per ogni punto xÎX.

Definizione 3.5 Si dice che uno spazio topologico X soddisfa il primo assioma di numerabilità se ogni punto xÎX possiede una base di intorni al più numerabile.

Esempi

Esercizi