Esempi sugli intorni di un punto e le basi di intorni

 

 

 

Esempio 1

 

Consideriamo R2 con la topologia euclidea. L'insieme A, in figura, Ŕ un aperto e l'insieme U Ŕ un intorno del punto x.

 

 

 

Esempio 2

 

Consideriamo X insieme non vuoto con la topologia banale; allora per ogni punto x di X, l'unico intorno di x Ŕ X stesso.

 

 

 

Esempio 3

 

Consideriamo X insieme non vuoto con la topologia discreta; allora per ogni punto x di X, {x } Ŕ un intorno di x come lo Ŕ qualsiasi sottoinsieme di X che contenga x.

 

 

 

Esempio 4

 

Sia X uno spazio topologico; la famiglia di tutti gli intorni di x Ŕ una base di intorni per x.

 

 

 

Esempio 5

 

Sia (R, e ), sia d R, la famiglia degli intervalli aperti (x - d, x + d) Ŕ una base di intorni di x.

 

 

 

Esempio 6

 

R2 con la topologia euclidea soddisfa il primo assioma di numerabilitÓ.

In generale Rn soddisfa il primo assioma di numerabilitÓ.

Questo lo vediamo negli esempi della prossima parte.

 

 

Esempio 7

 

Ogni spazio discreto soddisfa il primo assioma di numerabilitÓ, perchÚ per ogni x X, {{x}} Ŕ una base di intorni di x.