Esempi sulle basi di aperti per una topologia

 

 

Esempio 1

 

t č base di aperti per lo spazio topologico (X, t).

 

 

 

Esempio 2

 

La famiglia B dei singoli elementi di un insieme X č una base di aperti per la topologia discreta.

 

 

 

Esempio 3

 

Basi di aperti per la topologia euclidea su R:

   la famiglia di tutti gli intervalli (a, b) con a<b;

   la famiglia di tutti gli intervalli (a, b) con a<b e |a - b|<1;

   la famiglia di tutti gli intervalli (a, b) con a<b e a, b razionali;

   la famiglia dei dischi aperti Dd (x) al variare di x in R e di d in R+ con d<1;

   la famiglia dei dischi aperti Dd(x) al variare di x in un sottoinsieme denso di X e di d in R+.

 

 

 

Esempio 4

 

Consideriamo l'esempio 5 della sezione sugli intorni:

Sia (R, e) e sia d Ī R. La famiglia degli intervalli aperti (x - d, x + d) č una base di intorni di x.

Usando la proposizione 4.7: la famiglia B= č una base di aperti.

 

 

Esempio 5

 

(R, e ) soddisfa il secondo assioma di numerabilitą.

In generale Rn con la topologia euclidea soddisfa il secondo assioma di numerabilitą. La famiglia

B = {D1/n (x); n³1 intero e x č un punto a coordinate razionali} costituisce una base per la topologia euclidea.

Per la proposizione 4.9 risulta che Rn soddisfa il primo assioma di numerabilitą.

 

 

 

Esempio 6

 

X costituito da un'infinitą non numerabile di punti, con la topologia discreta, soddisfa il primo assioma di numerabilitą, ma non il secondo.