Esempi sulle basi di aperti per una topologia
t
č base di aperti per lo spazio topologico (X,
t).
Esempio
2
La famiglia B dei singoli
elementi di un insieme X č una base
di aperti per la topologia discreta.
Esempio
3
Basi di aperti per la topologia euclidea su R:
la famiglia di tutti gli intervalli (a, b) con a<b;
la famiglia di tutti gli intervalli (a, b) con a<b e |a - b|<1;
la famiglia di tutti gli intervalli (a, b) con a<b e a, b razionali;
la famiglia dei dischi aperti Dd (x) al
variare di x in R e di d in
R+ con d<1;
la famiglia dei dischi aperti Dd(x) al
variare di x in un sottoinsieme denso
di X e di d
in R+.
Esempio
4
Consideriamo l'esempio 5 della sezione sugli intorni:
Sia (R, e) e sia d Ī R. La famiglia degli
intervalli aperti (x - d, x + d)
č una base di intorni di x
Usando la proposizione 4.7: la famiglia B=
č una base di aperti.
Esempio
5
(R, e
) soddisfa il secondo assioma di
numerabilitą.
In generale Rn con la topologia euclidea soddisfa il secondo assioma
di numerabilitą. La famiglia
B = {D1/n (x); n³1 intero e x č un punto a coordinate razionali} costituisce una base per la
topologia euclidea.
Per la proposizione 4.9 risulta
che Rn soddisfa il primo assioma
di numerabilitą.
X costituito da un'infinitą non
numerabile di punti, con la topologia discreta, soddisfa il primo assioma di
numerabilitą, ma non il secondo.