Definizione 6.1 Sia S un sottoinsieme di X. Si chiama chiusura di S, e si denota con , il più piccolo chiuso contenente S (o, equivalentemente l’intersezione di tutti i chiusi che contengono S).

Osservazioni 6.2

  S è chiuso Û
  = X \ Est (S)

Dimostrazione

Osservazione 6.3 Siano S e T sottoinsiemi di X:

1. se S Í T, si ha che ;
2. ;
3. ;

Dimostrazione

Proposizione 6.4 Sia S Í X; allora sono equivalenti:

1. S è chiuso;
2. S = Int (S) È Fr (S);
3. Fr (S) Í S.

Dimostrazione

Definizione 6.5 Sia S Í X;
un punto x Î X è detto aderente ad S se ;
un punto x Î X è detto di accumulazione per S se per ogni intorno U di x si ha

Proposizione 6.6 Sia S Í X, allora:

1. = S È Fr (S);
2. = S È D (S).

Dimostrazione

Proposizione 6.7 Un punto x Î X è aderente ad un sottoinsieme S di X Û " U intorno di x,

Dimostrazione

Definizione 6.8 Un sottoinsieme S di X si dice denso in X se .

Esempi

Esercizi